Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quách Phú Đạt

Cho a , b , c > 0 Chứng minh rằng : \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Kuro Kazuya
30 tháng 1 2017 lúc 20:16

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{a+c}+b+\frac{c^2}{a+b}+c\ge\frac{a+b+c}{2}+a+b+c\)

\(\Leftrightarrow a\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+b\left(\frac{b}{a+c}+1\right)+c\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(\frac{a+b+c}{b+c}\right)+b\left(\frac{a+b+c}{c+a}\right)+c\left(\frac{a+b+c}{a+b}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\frac{a}{b+c}+\left(a+b+c\right)\frac{b}{c+a}+\left(a+b+c\right)\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\ge\frac{3}{2}+3\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+2b+2c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c+c+a+a+b\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)

Áp dụng BĐT Cô - si

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}b+c+c+a+a+b\ge3\sqrt[3]{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\\\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}\end{matrix}\right.\)

Nhân từng vế :

\(\Rightarrow\left(b+c+c+a+a+b\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\sqrt[3]{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right).\frac{1}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}\)

\(\Rightarrow\left(b+c+c+a+a+b\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\left(đpcm\right)\)

Vậy với a ,b ,c > 0 thì \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Bùi Nhất Duy
30 tháng 1 2017 lúc 20:57

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho các số thực không âm ta có:

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}\times\frac{b+c}{4}}=a\) (1)

\(\frac{b^2}{a+c}+\frac{a+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{b^2}{a+c}\times\frac{a+c}{4}}=b\) (2)

\(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{c^2}{a+b}\times\frac{a+b}{4}}=c\) (3)

Cộng (1),(2) và (3),vế theo vế ta được:

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi :a=b=c

Vậy \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\) với a,b,c >0

Lightning Farron
30 tháng 1 2017 lúc 21:41

Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng engel ta có:

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a+c+a+b}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

quá nhanh quá an toàn, ngộ nhỡ đề ko cho số dương còn lo dc, đỡ xoắn như các chế

Vũ Mạnh Chí
3 tháng 2 2017 lúc 14:44

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)

Nên ta có:

\(\left[\left(\frac{a}{\sqrt{b+c}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{a+c}}\right)^2+\left(\frac{c}{\sqrt{a+b}}\right)^2\right]\)\(\cdot\left[\left(\sqrt{b+c}\right)^2+\left(\sqrt{a+c}\right)^2+\left(\sqrt{a+b}\right)^2\right]\)

\(\ge\left(\frac{a}{\sqrt{b+c}}\cdot\sqrt{b+c}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}\cdot\sqrt{a+c}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\cdot\sqrt{a+b}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)\cdot\left[2\left(a+b+c\right)\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

Vậy là xong


Các câu hỏi tương tự
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết
Quốc Bảo
Xem chi tiết
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết
Quốc Bảo
Xem chi tiết
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết
Quốc Bảo
Xem chi tiết
Trần Nguyễn Bảo Quyên
Xem chi tiết
Neet
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Phượng
Xem chi tiết