Ta có \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^2-ab+b^2\)
Ta lại có \(a+b=1\Rightarrow a=1-b\)
\(a^2-ab+b^2=\left(1-b\right)^2-b\left(1-b\right)+b^2=b^2-2b+1-b+b^2+b^2\)
\(=3b^2-3b+1=3\left(b^2-b+\frac{1}{3}\right)=3\left(\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\right)\ge3.\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\)
Vậy Min M=1/4 <=> b=1/2;a=1/2
Ta có : \(M=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=1-3ab\)
Vì tổng (a+b) không đổi nên tích ab đạt giá trị lớn nhất khi a = b (bạn có thể chứng minh theo Cauchy)
Do đó : M đạt giá trị nhỏ nhất <=> -3ab đạt giá trị nhỏ nhất <=> ab đạt giá trị lớn nhất <=> a = b = 1/2
Vậy Min M = 3/4 <=> a = b = 1/2
\(M=a^3+b^3\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\) ( hẳng đẳng thức )
Mà a + b = 1 nên :
\(M=a^2+b^2-ab\)
\(=\left(a^2+b^2+2ab\right)-3ab\)
\(=\left(a+b\right)^2-3ab\)
Lại có a + b = 1 nên :
\(M=1^2-3ab=1-3ab\)
\(3ab\le\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow M\ge1-\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
Do đó Mmin = \(\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Mình lộn chút xíu, Min phải là 1/4 nhé ^^ Vì a = b = 1/2
M =(a+b)(a2 -ab+b2) = (a+b)((a+b)2 +ab)=
= 1+ab
nếu ab trái dấu k có GTNN
nếu ab cùng dấu hoặc =0 thì GTNN M= 1
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)=a2−ab+b2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.94px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml"> ( vì a+b=1)
2(a−b)2≥0⇔2a2−4ab+2b2≥0⇔4a2−4ab+4b2≥2a2+2b2⇔4(a2−ab+b2)≥2(a2+b2)≥(a+b)2=1⇔4(a2−ab+b2)≥1⇔a2−ab+b2≥14⇒a3+b3≥14" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.94px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:42.737em; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; width:958.625px; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">
14⇔a=b=12" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.94px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">
Để mình làm lại nhé ^^
Ta có : \(M=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=1-3ab\)
Nhận thấy tổng (a+b) không đổi (=1) nên tích ab đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi a = b
M đạt giá trị lớn nhất <=> -3ab đạt giá trị nhỏ nhất <=> 3ab đạt giá trị lớn nhất <=> ab đạt giá trị lớn nhất <=> a = b = 1/2
Vậy Min M = 1/4 <=> a = b = 1/2
