Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có :
\(P\le\sqrt{\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{b+1}\right)^2+\left(\sqrt{a+1}\right)^2\right]}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+b+2\right)}\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{2\left(2+2\right)}=2\sqrt{2}\)
Vậy : GTLN của P là \(2\sqrt{2}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1\)
Cho \(a,b>0:a+b\le2\).Tìm max: P=\(\sqrt{a\left(b+3\right)}+\sqrt{b\left(a+3\right)}\)
Cho \(a,b\) >0 và \(a+b\le2\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\sqrt[]{a\left(b+1\right)}+\sqrt[]{b\left(a+1\right)}\)
Cho a, b>0 thỏa mãn: \(a+b\le2\)
Tìm GTLN của P= \(\sqrt{a\left(b+1\right)}+\sqrt{b\left(a+1\right)}\)
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b\ge0\\a+b=1\end{matrix}\right.\) tìm max,min \(P=\sqrt{a\left(b+1\right)}+\sqrt{b\left(a+1\right)}\)
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a + b + c = abc . Tìm
\(A_{max}=\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)
CMR với a>c>0 và b>c>0, ta có
\(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+ \sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\le2\sqrt{ab}\)
Cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=3. Tìm Max \(P=\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{6}+\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Cho a;b;c>0 Tìm Min:
\(4abc\left(\frac{1}{\left(a+b\right)^2c}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2a}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2b}\right)+\frac{c+a}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}\ge9\)
Tìm Max: \(\frac{433}{17}\sqrt{x-x^2}+143\sqrt{x+x^2}\)với 0<x<1
Cho các số dương a,b. Chứng minh rằng:
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}}\right)\le2\)
