Câu hỏi của phan thị minh anh

Question

cho a, b >0 và a^2 +b^2 =8tìm GTLN của bt : $M=\sqrt[3]{a^3+1}+\sqrt[3]{b^3+1}$

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

Ta có $M\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{3(a+1)(a^2-a+1)}+\sqrt[3]{3(b+1)(b^2-b+1)}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba bộ số không âm:

$\sqrt[3]{3(a+1)(a^2-a+1)}\leq \frac{3+a+1+a^2-a+1}{3}=\frac{a^2+5}{3}$

Tương tự $\sqrt[3]{3(b+1)(b^2-b+1)}\leq \frac{b^2+5}{3}$

Do đó $M\sqrt[3]{3}\leq \frac{a^2+b^2+10}{3}=6\Rightarrow M_{\max}=\frac{6}{\sqrt[3]{3}}$

Vậy $M_{\max}=\frac{6}{\sqrt[3]{3}}\Leftrightarrow a=b=2$Câu trả lời: Lời giải:

Ta có $M\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{3(a+1)(a^2-a+1)}+\sqrt[3]{3(b+1)(b^2-b+1)}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba bộ số không âm:

$\sqrt[3]{3(a+1)(a^2-a+1)}\leq \frac{3+a+1+a^2-a+1}{3}=\frac{a^2+5}{3}$

Tương tự $\sqrt[3]{3(b+1)(b^2-b+1)}\leq \frac{b^2+5}{3}$

Do đó $M\sqrt[3]{3}\leq \frac{a^2+b^2+10}{3}=6\Rightarrow M_{\max}=\frac{6}{\sqrt[3]{3}}$

Vậy $M_{\max}=\frac{6}{\sqrt[3]{3}}\Leftrightarrow a=b=2$