Question

Cho A= 1+2+2^2+2^3+...+2^41.

a)Thu gọn tổng A.

b)Chứng tỏ rằng A chia hết cho 7 và 3.

c)Tìm số dư của A khi chia cho 5.

Answer 1

a) A = 1 + 2 + 2² + ... + 2⁴¹

⇒ 2A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁴²

⇒ A = 2A - A

= (2 + 2² + 2³ + ... + 2⁴²) - (1 + 2 + 2² + ... + 2⁴¹)

= 2⁴² - 1

b) A = 1 + 2 + 2² + ... + 2⁴¹

= (1 + 2 + 2²) + (2³ + 2⁴ + 2⁵) + ... + (2³⁹ + 2⁴⁰ + 2⁴¹)

= 7 + 2³.(1 + 2 + 2²) + ... + 2³⁹.(1 + 2 + 2²)

= 7 + 2³.7 + ... + 2³⁹.7

= 7.(1 + 2³ + ... + 2³⁹) ⋮ 7

Vậy A ⋮ 7

Ta có:

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁴⁰ + 2⁴¹

= (1 + 2) + (2² + 2³) + ... + (2⁴⁰ + 2⁴¹)

= 3 + 2².(1 + 2) + ... + 2⁴⁰.(1 + 2)

= 3 + 2².3 + ... + 2⁴⁰.3

= 3.(1 + 2² + ... + 2⁴⁰) ⋮ 3

Vậy A ⋮ 3

c) A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁴⁰

= (1 + 2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷) + ... + (2³⁸ + 2³⁹ + 2⁴⁰ + 2⁴¹)

= 15 + 2⁴.(1 + 2 + 2² + 2³) + ... + 2³⁸.(1 + 2 + 2² + 2³)

= 15 + 2⁴.15 + ... + 2³⁸.15

= 15.(1 + 2⁴ + ... + 2³⁸)

= 5.3.(1 + 2⁴ + ... + 2³⁸) ⋮ 5

Vậy A chia 5 dư 0