Question

Cho a ∈ 0 ; π 2 . Hãy tính ∫ e tan a x d x 1 + x 2 + ∫ e c o t a d x x 1 + x 2

A. I = 1

B. I = -1

C. I = e

D. I = -e

Answer 1

Xét hàm số  ∫ e tan a x d x 1 + x 2 + ∫ e c o t a d x x 1 + x 2  xác định với mọi  x ∈ 0 ; π 2

Ta sẽ tính T(a)

Gọi F(t); G(t) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số y = t 1 + t 2  và  y = 1 t 1 + t 2

Khi đó  T x = F tan x - F e + G c o t x - G e

Suy ra 

T ' x = F ' tan x . 1 cos 2 x - G ' c o t x . 1 sin 2 x = tan x 1 + tan 2 x cos 2 x - 1 c o t x 1 + os 2 x sin 2 x = tan x - 1 c o t x = 0

Do đó T(x) là hàm hằng trên khoảng  x ∈ 0 ; π 2 . Khi a = π 4  thì

T π 4 = ∫ e 1 x d x 1 + x 2 + ∫ e 1 d x x 1 + x 2 = ∫ e 1 d x x = - 1

Đáp án B