Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Thuhuyen Le

cho 3 số x,y,z>0 xy+yz+xz=xyz Tìm GTNN của biểu thức:

M=1/4x+3y+z + 1/x+4y+3x + 1/3x+y+4z

Thắng Nguyễn
30 tháng 3 2017 lúc 17:27

Sửa thành tìm GTLN nhé !

Với x,y,z>0 chia 2 vế của \(xy+yz+xz=xyz\) cho \(xyz\) ta có :

\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\frac{1}{4x+3y+z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)\). Tương tự cho 2 BĐT kia:

\(\frac{1}{x+4y+3z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{3}{z}\right);\frac{1}{3x+y+4z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(M\leΣ\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)=Σ\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=3\)


Các câu hỏi tương tự
Thịnh Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hằng
Xem chi tiết
Huyền Nguyễn Khánh
Xem chi tiết
Toru
Xem chi tiết
Như Quỳnh Phạm
Xem chi tiết
Nguyễn Úy Vũ
Xem chi tiết
tran vinh
Xem chi tiết
hung
Xem chi tiết
Trường Tuệ Lê
Xem chi tiết