Question

Cho 3 số thực x, y, z thay đổi thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

 \(P=\dfrac{1}{2023xz}+\dfrac{1}{2023yz}\)

Answer 1

\(P=\dfrac{1}{2023}\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=\dfrac{1}{2023.z}\dfrac{x+y}{xy}\)

Ap dung BDT cosi taco 

\(P\ge\dfrac{1}{2023z}.\dfrac{x+y}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{4}{2023z}\dfrac{1}{x+y}\)

<->\(P\ge\dfrac{4}{2023}\dfrac{1}{z\left(1-z\right)}=\dfrac{4}{2023}\dfrac{1}{-z^2+z}=\dfrac{4}{2023}\dfrac{1}{-\left(z-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}}\)

\(< =>P\ge\dfrac{4}{2023}\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{16}{2023}\)

\(P_{min}=\dfrac{16}{2023}\Leftrightarrow Z=\dfrac{1}{2},x=y=\dfrac{1}{4}\)