Lời giải:
Để nhìn biểu thức cho đơn giản, ta đảo \((a,b,c)\mapsto \left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\)
Bài toán trở thành:
Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(2(a^2+b^2+c^2)=ab+bc+ac+\frac{1}{3}\)
Tìm max của \(P=\sum\frac{ab}{\sqrt{6b^2+3a^2}}\)
--------------------------------------------------------------------------------
Áp dụng BĐt Cauchy-Schwarz:
\((6b^2+3a^2)(2+1)\geq (2\sqrt{3}b+\sqrt{3}a)^2\) \(\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{6b^2+3a^2}}\leq\frac{ab}{2b+a}\)
Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow P\leq \frac{ab}{2b+a}+\frac{bc}{2c+b}+\frac{ac}{2a+c}\) $(1)$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: \(ab\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\geq \frac{9ab}{2b+a}\)
Tương tự... \(\Rightarrow \frac{ab}{2b+a}+\frac{bc}{2c+b}+\frac{ac}{2c+a}\leq \frac{a+b+c}{3}\) $(2)$
Mặt khác, ta biết rằng \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\) nên từ đkđb \(2(a^2+b^2+c^2)=ab+bc+ac+\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 2(a+b+c)^2=5(ab+bc+ac)+\frac{1}{3}\leq \frac{5(a+b+c)^2}{3}+\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow a+b+c\leq 1\) $(3)$
Từ \((1),(2),(3)\Rightarrow P\leq\frac{1}{3}\)
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
