Question

cho 3 số dương a b c.CMR 1/(a(1+b))+1/(b(1+c))+1/(c(1+a))≥3/(∛abc(1+∛abc))

 

Answer 1

\(\frac{1}{a\left(1+b\right)}+\frac{1}{b\left(1+c\right)}+\frac{1}{c\left(1+a\right)}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)}}\)

Đặt \(abc=k^3\).Khi đó tồn tại các số nguyên dương x,y,z sao cho 

\(a=\frac{kx}{y};b=\frac{kz}{x};c=\frac{ky}{z}\). Ta viết BĐT đã cho lại dưới dạng

\(\frac{y}{x+kz}+\frac{x}{z+ky}+\frac{z}{y+kx}\ge\frac{3}{1+k}\)

Áp dụng Bđt Cauchy - Schwarz dạng engle, ta có

\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(1+k\right)\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{1+k}=VP\)

Dấu = khi a=b=c

Answer 2

cách khác có thế dùng Holder nhưng hơi mất thời gian