a) xy đạt giá trị lớn nhất khi x,y cùng dấu
Mà 2x+y=3 nên x,y phải dương
Áp dụng Cô-si cho 2 số dương 2x và y ta có:
\(2x+y\ge2\sqrt{2xy}\)
\(\Leftrightarrow3\ge2\sqrt{2xy}\Rightarrow xy\le\frac{9}{8}\)
b) Nghĩ đã
1 \(\left(2x+y\right)^2=4x^2+4xy+y^2=9\)
\(\left(2x-y\right)^2>=0\Rightarrow4x^2-4xy+y^2>=0\Rightarrow4x^2+y^2>=4xy\)
\(\Rightarrow4x^2+4xy+y^2=9>=4xy+4xy=8xy\Rightarrow\frac{9}{8}>=xy\)
dấu = xảy ra khi \(x=\frac{3}{4};y=\frac{3}{2}\)
vậy max của xy là \(\frac{9}{8}\)khi \(x=\frac{3}{4};y=\frac{3}{2}\)
b)Đề sai nhé
\(\left(x^2+y^2\right)^3=x^6+y^6+3x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow x^6+y^6=1-3x^2y^2\)
Áp dụng BĐT Cô si với hai số dương x2 và y2 ta có:
\(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x^2y^2\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow x^6+y^6\ge1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)
Vậy \(min\left(x^6+y^6\right)=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
