Câu hỏi của Lê Song Phương

Question

Cho 2 đường tròn đồng tâm O có bán kính R và r (R>r).A,M là 2 điểm thuộc đường tròn nhỏ (A di động,M cố định).Qua M vẽ dây BC của đường tròn lớn sao cho BC⊥⊥AM.

a) Chứng minh tổng $MA^2+MB^2+MC^2$ không phụ thuộc vào A

b) chứng minh trọng tâm G của tam giác ABC cố định

Nguyễn Tất Đạt · Accepted Answer

M A B C O      N D  Gọi $BC$ cắt $\left(O;r\right)$ lần thứ hai tại $N$, $CD$ là đường kính của $\left(O;R\right)$Do hình chiếu vuông góc của $O$ trên $BC$ là trung điểm của $MN,BC$ nên $MB=NC$Tính đối xứng tâm của đường tròn nên $NC=AD,NC||AD$ hay $MB=||AD$Suy ra $AM=DB$. Ta biến đổi:$MA^2+MB^2+MC^2=MA^2+\left(MB+MC\right)^2-2MB.MC$$=DB^2+BC^2-2\left(R^2-OM^2\right)=\left(2R\right)^2-2\left(R^2-r^2\right)=2\left(R^2+r^2\right)$Câu trả lời: M A B C O      N D  Gọi $BC$ cắt $\left(O;r\right)$ lần thứ hai tại $N$, $CD$ là đường kính của $\left(O;R\right)$Do hình chiếu vuông góc của $O$ trên $BC$ là trung điểm của $MN,BC$ nên $MB=NC$Tính đối xứng tâm của đường tròn nên $NC=AD,NC||AD$ hay $MB=||AD$Suy ra $AM=DB$. Ta biến đổi:$MA^2+MB^2+MC^2=MA^2+\left(MB+MC\right)^2-2MB.MC$$=DB^2+BC^2-2\left(R^2-OM^2\right)=\left(2R\right)^2-2\left(R^2-r^2\right)=2\left(R^2+r^2\right)$

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)