a: Xét tứ giác CMHN có \(\widehat{CMH}+\widehat{CNH}=90^0+90^0=180^0\)
nên CMHN là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔCAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔCAB vuông tại C
=>CA\(\perp\)CB
mà MH\(\perp\)AC
nên MH//CB
ΔCAB vuông tại C
=>\(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)
mà \(\widehat{CBA}+\widehat{HCB}=90^0\)(ΔHCB vuông tại H)
nên \(\widehat{CAB}=\widehat{HCB}\)
mà \(\widehat{HCB}=\widehat{HCN}=\widehat{HMN}\)(CMHN nội tiếp)
và \(\widehat{HMN}=\widehat{CNM}\)(hai góc so le trong, HM//CB)
nên \(\widehat{CNM}=\widehat{CAB}\)
Xét ΔCNM và ΔCAB có
\(\widehat{CNM}=\widehat{CAB}\)
\(\widehat{NCM}\) chung
Do đó: ΔCNM~ΔCAB
Xét ΔCAB vuông tại C có \(cosACB=\dfrac{CA}{CB}\)
=>\(\dfrac{CA}{2R}=cos60=\dfrac{1}{2}\)
=>CA=R
Diện tích tam giác CAB là:
\(S_{CAB}=\dfrac{1}{2}\cdot CA\cdot AB\cdot sinCAB\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot R\cdot2R\cdot sin60=R^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
ΔCAB có CH là đường cao
nên \(S_{CAB}=\dfrac{1}{2}\cdot CH\cdot AB\)
=>\(CH\cdot\dfrac{1}{2}\cdot2R=R^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
=>\(CH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)
Xét tứ giác CMHN có \(\widehat{CMH}=\widehat{CNH}=\widehat{MCN}=90^0\)
nên CMHN là hình chữ nhật
=>MN=CH
=>\(MN=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)
ΔCMN~ΔCBA
=>\(\dfrac{S_{CMN}}{S_{CAB}}=\left(\dfrac{MN}{AB}\right)^2=\left(\dfrac{R\sqrt{3}}{2\cdot2R}\right)^2=\dfrac{3}{16}\)
=>\(S_{CMN}=\dfrac{3}{16}\cdot R^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\cdot\sqrt{3}\cdot R^2}{32}\)
