Question

Câu IV

1. CMR nếu p là số nguyên tố ( p> 3 ) thì (p+1)(p-1) chia hết cho 24

2.Tìm các số nguyên x,y thoả mãn đẳng thức :

\(\left\vert\left(x-y\right)^2+2\left(xy+y^2-4y\right)\right\vert=xy+y^2-4y\)

Answer 1

1: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3

Vì p là số không chia hết cho 3 nên \(\left[{}\begin{matrix}p=3k+1\\p=3k+2\end{matrix}\right.\)

TH1: p=3k+1

\(\left(p+1\right)\left(p-1\right)=\left(3k+1+1\right)\left(3k+1-1\right)\)

\(=3k\left(3k+2\right)⋮3\left(2\right)\)

TH2: p=3k+2

\(\left(p+1\right)\left(p-1\right)=\left(3k+2+1\right)\left(3k+2-1\right)\)

\(=\left(3k+3\right)\left(3k+1\right)=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)⋮3\left(1\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\left(p+1\right)\left(p-1\right)⋮3\)

Vì p là số lẻ nên p=2k+1

\(\left(p+1\right)\left(p-1\right)=\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-1\right)\)

\(=2k\cdot\left(2k+2\right)=4k\left(k+1\right)\)

Vì k;k+1 là hai số nguyên liên tiếp

nên \(k\left(k+1\right)⋮2\)

=>\(4k\left(k+1\right)⋮\left(4\cdot2\right)=8\)

=>\(\left(p+1\right)\left(p-1\right)⋮8\)

Ta có: \(\left(p+1\right)\left(p-1\right)⋮3;\left(p+1\right)\left(p-1\right)⋮8\)

mà ƯCLN(3;8)=1

nên \(\left(p+1\right)\left(p-1\right)⋮3\cdot8\)

=>\(\left(p+1\right)\left(p-1\right)⋮24\)