\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}+2=\frac{a+b-1}{ab}+2\)
\(\frac{2\left(a+b-1\right)}{\left(a+b\right)^2-1}+2=\frac{2}{a+b+1}+2\ge\frac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+1}+2=\frac{2}{\sqrt{2}+1}+2=2\sqrt{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Đặt \(a=\frac{x^2}{z},b=\frac{y^2}{z}\rightarrow x^4+y^4=z^2\) where x, y, z> 0
\(z\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)-\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2\ge2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^4+y^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\ge2\sqrt{2}+\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) *Đúng*
ta chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{2}+\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\)
ta thực hiện các phép biển đổi tương đương
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{2}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\)
\(\Leftrightarrow a+b+2ab\ge2\sqrt{2}ab+1\)
\(\Leftrightarrow a+b+\left(a+b\right)^2-1\ge2\sqrt{2}\left(a+b\right)^2+1-\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\sqrt{2}\right)t^2+t+\sqrt{2}-2\ge0,t=a+b\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\sqrt{2}\right)\left(t-\sqrt{2}\right)\left(t-1\right)\ge0\)
từ điều kiện đề bài ta dễ dàng suy ra được 1<t\(\le\sqrt{2}\)nên bắt đẳng thức cuối cùng đúng
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b
