Question

bài tập:cho nửa đg tròn (o) đg kính AB và 1 điểm C trên nữa đg tròn.Gọi D là 1 điểm trên đg kính AB.Qua D kẻ đg vuông góc AB cắt BC tại F, cắt AC tại E.Tiếp tuyến của nửa đg tròn ở C cắt EF ở I.C/minh a) I là trung điểm của EF b)Đg thẳng OC là tiếp tuyến của đg tròn ngoại tiếp tam giác ECF

Answer 1

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)CB tại C

=>AC\(\perp\)FB tại C

=>EC\(\perp\)CF tại C

=>ΔECF vuông tại C

Xét (O) có

\(\widehat{ICA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CI và dây cung CA

\(\widehat{CBA}\) là góc nội tiếp chắn cung CA

Do đó: \(\widehat{ICA}=\widehat{CBA}\)

mà \(\widehat{CBA}=\widehat{AED}\left(=90^0-\widehat{CAB}\right)\)

 và \(\widehat{AED}=\widehat{IEC}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{ICA}=\widehat{IEC}\)

=>\(\widehat{ICE}=\widehat{IEC}\)

=>IE=IC

Ta có: \(\widehat{IEC}+\widehat{IFC}=90^0\)(ΔCFE vuông tại C)

\(\widehat{ICE}+\widehat{ICF}=\widehat{FCE}=90^0\)

mà \(\widehat{IEC}=\widehat{ICE}\)

nên \(\widehat{IFC}=\widehat{ICF}\)

=>IF=IC

mà IE=IC

nên IE=IF

=>I là trung điểm của EF

b: Vì ΔCFE vuông tại C

nên ΔCFE nội tiếp đường tròn đường kính EF

=>ΔCFE nội tiếp (I)

Xét (I) có

IC là bán kính

OC\(\perp\)CI tại C

Do đó: OC là tiếp tuyến của (I)

=>OC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔECF