Question

Bài 6: Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB. Vẽ hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm trong đường tròn.

a. Chứng minh rằng: EA.ED = EB.EC.

b. Chứng minh rằng: AE.AD + BE.BC không đổi.

Answer 1

 

Đề bài chắc là: Vẽ hai dây AD và BC cắt nhau ở E. Lời giải như sau:

a.  Do AB là đường kính nên các góc ACB, ADB vuông. Xét hai tam giác vuông ACE và BDE có \(\angle AEC=\angle BED\) (đối đỉnh), do đó \(\Delta ACE\sim\Delta BDE\) (g.g). Vậy \(\frac{AE}{BE}=\frac{CE}{DE}\to EA\cdot ED=EB\cdot EC.\)

b. Kẻ đường vuông góc \(EH\) với \(AB.\) Khi đó \(H\) thuộc đoạn thẳng \(AB.\)

Ta có \(\Delta AEH\sim\Delta ABD\left(g.g.\right)\to\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}\to AE\cdot AD=AB\cdot AH.\) 

Tương tư, \(\Delta BEH\sim\Delta BAC\left(g.g\right)\to\frac{BE}{BA}=\frac{BH}{BC}\to BE\cdot BC=BA\cdot BH.\)

Cộng hai đẳng thức lại ta được, \(AE\cdot AD+BE\cdot BC=AB\cdot AH+AB\cdot BH=AB\left(AH+BH\right)=AB^2.\)  Suy ra 

\(AE\cdot AD+BE\cdot BC=AB^2\) không đổi. (ĐPCM)