Question

Bài 1 tìm nghiệm nguyên của phương trình :

1) \(x^2+y^2=xy+x+y\)

2 ) \(x^4+x^2+1=y^2\)

ai giúp mk với ạ

 

Answer 1

1/
PT $\Leftrightarrow 2x^2+2y^2-2xy-2x-2y=0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2$
$\Rightarrow (x-1)^2=2-(x-y)^2-(y-1)^2\leq 2< 4$
$\Rightarrow -2< x-1< 2$

$\Leftrightarrow -1< x< 3$
Vì $x$ nguyên nên ta xét các TH:

TH1: $x=0$ thì $y^2=y\Leftrightarrow y=0$ hoặc $y=1$

Ta có cặp $(x,y)=(0,0); (0,1)$

TH2: $x=1$ thì $y^2+1=2y+1$

$\Leftrightarrow y^2-2y=0\Leftrightarrow y=0$ hoặc $y=2$

Ta có cặp $(x,y)=(1,0); (1,2)$

TH3: $x=2$ thì $y^2+4=3y+2$
$\Leftrightarrow y^2-3y+2=0$

$\Leftrightarrow (y-1)(y-2)=0\Rightarrow y=1$ hoặc $y=2$

Ta có cặp $(x,y)=(2,1); (2,2)$

Answer 2

2/

$y^2=x^4+x^2+1>x^4$

Mặt khác: $y^2=x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2\leq (x^2+1)^2$

Vậy $(x^2)^2< y^2\leq (x^2+1)^2$

Do đó theo nguyên lý kẹp thì $y^2=(x^2+1)^2$

$\Leftrightarrow x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1$
$\Leftrightarrow x^2=0\Leftrightarrow x=0$

Khi đó: $y^2=1\Rightarrow y=\pm 1$
Vậy $(x,y)=(0,\pm 1)$