Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD cắt đường cao AH tại I.
a) Biết AC = 8cm ; AB = 6cm. Tính BC
b) Chứng minh: AB2 = BH. CB
c) Chứng minh: AD. BD = BI. DC
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC = 12cm; BC = 20cm. Kẻ đường cao AH (H thuộc BC).
a) Tính AB.
b) Chứng minh: tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC
c) Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB,AC. Chứng minh AD. AB = AE. AC
d) Trong tam giác ABC kẻ phân giác AD (D thuộc BC). Trong tam giác ADB kẻ phân giác DE (E thuộc AB) ; trong tam giác ADC kẻ phân giác DF ( F thuộc AC ). Chứng minh rằng:
EA/EB . DB/DC . FC/FA = 1
Bài 5. Từ căn hộ chung cư nhà mình, bạn Lan đứng cách cửa sổ 1m nhìn sang toà nhà đối diện thì vừa nhìn thấy đúng tất cả 6 tầng của toà nhà đó. Biết rằng cửa sổ nhà Lan cao 80 cm và mỗi tầng của toà nhà đối diện cao 4m. Hỏi khoảng cách từ căn hộ nhà Lan đến toà nhà đối diện là bao nhiêu?
Bài 1:
a: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(\operatorname{cm}\right)\)
b: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có
\(\hat{HBA}\) chung
Do đó: ΔBHA~ΔBAC
=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\) (2)
=>\(BH\cdot BC=BA^2\)
c: Xét ΔBAC có BD là phân giác
nên \(\frac{AD}{DC}=\frac{BA}{BC}\left(1\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\frac{BH}{BA}=\frac{AD}{DC}\)
Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHI vuông tại H có
\(\hat{ABD}=\hat{HBI}\)
Do đó: ΔBAD~ΔBHI
=>\(\frac{BA}{BH}=\frac{BD}{BI}\)
=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BI}{BD}\)
=>\(\frac{BI}{BD}=\frac{AD}{DC}\)
=>\(BI\cdot DC=BD\cdot AD\)
Bài 3:
a: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AB^2=20^2-12^2=256=16^2\)
=>AB=16(cm)
b: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có
\(\hat{HBA}=\hat{HAC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)
Do đó: ΔHBA~ΔHAC
c: Xét ΔADH vuông tại D và ΔAHB vuông tại H có
\(\hat{DAH}\) chung
Do đó: ΔADH~ΔAHB
=>\(\frac{AD}{AH}=\frac{AH}{AB}\)
=>\(AH^2=AD\cdot AB\left(1\right)\)
Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHC vuông tại H có
\(\hat{EAH}\) chung
Do đó: ΔAEH~ΔAHC
=>\(\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AC}\)
=>\(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
d: Xét ΔDAB có DE là phân giác
nên \(\frac{EA}{EB}=\frac{DA}{DB}\)
Xét ΔDAC có DF là phân giác
nên \(\frac{FC}{FA}=\frac{DC}{DA}\)
\(\frac{EA}{EB}\cdot\frac{FC}{FA}\cdot\frac{DB}{DC}=\frac{DA}{DB}\cdot\frac{DC}{DA}\cdot\frac{DB}{DC}=1\)
