Question

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho . Trên tia đối của tia EC lấy điểm H sao cho DF = 1/3 * BD . EH = 1/3 * CE Chứng minh rằng tứ giác BCFH là hình chữ nhật.

Answer 1

Xét ΔABC có

BD,CE là các đường trung tuyến

BD cắt CE tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(GB=\frac23BD;GC=\frac23CE\)

Ta có: \(GB+GD=BD\)

=>\(GD=BD-\frac23BD=\frac13BD\)

=>DG=DF

=>D là trung điểm của GF

Ta có: \(GC+GE=CE\)

=>\(GE=CE-CG=\frac13CE\)

=>GE=EH

=>E là trung điểm của GH

ta có: \(GC=\frac23CE;EG=\frac13CE\)

=>GC=2GE

=>GC=GH

=>G là trung điểm của HC

Ta có: \(GB=\frac23BD;GD=\frac13BD\)

=>GB=2GD

mà GF=2GD

nên GB=GF

=>G là trung điểm của BF

Ta có: \(AD=DC=\frac{AC}{2}\) (D là trung điểm của AC)

\(AE=EB=\frac{AB}{2}\) (E là trung điểm của AB)

mà AC=AB

nên AD=DC=AE=EB

Xét ΔADB và ΔAEC có

AD=AE

\(\hat{DAB}=\hat{EAC}\)

AB=AC

Do đó: ΔADB=ΔAEC

=>BD=CE

mà \(BG=\frac23BD;CG=\frac23CE\)

nên GB=GC

=>2GB=2GC

=>CH=BF

Xét tứ giác BCFH có

G là trung điểm chung của BF và CH

=>BCFH là hình bình hành

Hình bình hành BCFH có BF=CH

nên BCFH là hình chữ nhật