a: BC=BH+CH
=9+25
=34(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
=>\(AH=\sqrt{9\cdot25}=15\left(cm\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{9\cdot34}=3\sqrt{34}\left(cm\right)\\AC=\sqrt{25\cdot34}=5\sqrt{34}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
b: XétΔAHB vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao
nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔACB
c: \(AB^2=BH\cdot BC;AC^2=CH\cdot CB\)
=>\(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot CB}=\dfrac{BH}{CH}\)
Xét ΔABC vuông tại A có \(cotB=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\left(cot60\right)^2=\left(tan30\right)^2=\dfrac{1}{3}\)
=>\(\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{1}{3}\)
