Question

b) Chứng minh rằng P = xy(x ^ 4 - 15y) - xy(y ^ 4 + 15y) hết cho 30, với x, y là các số nguyên.

Answer 1

Lời giải:

$P=xy(x^4-y^4)-30xy^2$

Khi đó muốn cm $P\vdots 30$ thì ta chỉ cần chỉ ra $xy(x^4-y^4)\vdots 30$ với mọi $x,y$ nguyên.

Nếu $x,y$ cùng tính chẵn lẻ thì $x^4, y^4$ cũng cùng tính chẵn lẻ.

$\Rightarrow x^4-y^4$ chẵn

$\Rightarrow xy(x^4-y^4)\vdots 2$

Nếu $x,y$ khác tính chẵn lẻ, nghĩa là 1 trong 2 số là số chẵn.

$\Rightarrow xy\vdots 2\Rightarrow xy(x^4-y^4)\vdots 2$

Vậy $xy(x^4-y^4)\vdots 2(*)$

--------------------------------------

Mặt khác:

Nếu 1 trong 2 số $x,y\vdots 5$ thì hiển nhiên $xy(x^4-y^4)\vdots 5$

Nếu $x,y$ đều không chia hết cho 5 thì $x^2, y^2$ cũng không chia hết cho $5$.

Mà 1 scp khi chia cho 5 dư $0,1,4$ nên lúc này $x^2, y^2$ chia 5 dư $1$ hoặc $4$
$xy(x^4-y^4)=xy(x^2-y^2)(x^2+y^2)$.

$x^2, y^2$ mà cùng chia 5 dư $1$ hoặc cùng chia $5$ dư $4$ thì $x^2-y^2\vdots 5\Rightarrow xy(x^4-y^4)=xy(x^2-y^2)(x^2+y^2)\vdots 5$

$x^2, y^2$ mà chia 5 khác số dư thì 1 số chia 5 dư 1, một số chia 5 dư 4 nên $x^2+y^2\vdots 5$

$\Rightarrow xy(x^4-y^4)=xy(x^2-y^2)(x^2+y^2)\vdots 5$

Vậy tóm lại $xy(x^4-y^4)\vdots 5(**)$

-----------------

Nếu 1 trong 2 số $x,y$ chia hết cho 3 thì hiển nhiên $xy(x^4-y^4)\vdots 3$

Nếu cả 2 số $x,y$ đều không chia hết cho 3 thì $x^2, y^2$ chia 3 dư 1 (tính chất scp)

$\Rightarrow x^2-y^2\vdots 3$

$\Rightarrow xy(x^4-y^4)=xy(x^2-y^2)(x^2+y^2)\vdots 3 (***)$

Từ $(*); (**); (***)\Rightarrow xy(x^4-y^4)\vdots (2.3.5)$

Hay $xy(x^4-y^4)\vdots 30$

$\Rightarrow P\vdots 30$