@Ai đó:v
Tìm min của 2x^2 + y^2 +z^2 biết xy + yz + zx = 1 và x, y, z > 0
Cách của em như sau(ko chắc đâu nhé, cách này em mới nghĩ ra thôi): Ta cho k >0thỏa mãn \(A\ge k\left(xy+yz+zx\right)\)
Hay
\(2x^2-x\left(ky+kz\right)+y^2-kyz+z^2\ge0\)
Có:\(VT=2\left(x-\frac{ky+kz}{4}\right)^2+\frac{\left(8-k^2\right)y^2-\left(2k^2+8k\right)yz+\left(8-k^2\right)z^2}{8}\)
\(=2\left(x-\frac{ky+kz}{4}\right)^2+\frac{\left(8-k^2\right)\left(y-\frac{\left(2k^2+8z\right)z}{2\left(8-k^2\right)}\right)^2+\frac{z^2}{4}\left[4\left(8-k^2\right)-\frac{\left(2k^2+8k\right)^2}{8-k^2}\right]}{8}\)
Bây giờ để bđt là luôn đúng thì \(8-k^2\ge0\) và \(4\left(8-k^2\right)=\frac{\left(2k^2+8k\right)^2}{8-k^2}\)
Ngay lập tức ta thấy \(k=\sqrt{5}-1\)
Từ đó..
Chihiro vãi cả hu hu, t giải giúp một đứa bạn thôi mà;(( vả lại t bảo là ko chắc nên đừng ném đá nhá!
Áp dụng bất đẳng thức: x2 + a2y2 ≥≥2axy, ta có:
1+√52(xy+yz+zx)≤1+√52(x2+y2)+[y2+(1+√52)2x2]+[(1+√52)2z2+x2]21+52(xy+yz+zx)≤1+52(x2+y2)+[y2+(1+52)2x2]+[(1+52)2z2+x2]2=
(1+√52+1)(x2+y2)+2(1+√52)2z22
⇒(1+√5)≤3+√52(x2+y2)+(3+√5)z2⇒(1+5)≤3+52(x2+y2)+(3+5)z2⇒x2+y2−2z2≥√5−1⇒x2+y2−2z2≥5−1⇒P≥√5−1⇒P≥5−1
Vậy GTNN của P là √5−15−1khi x=y=1+√52z.
