Question

a) chứng minh: x\(^2\) + x\(\sqrt{3}\)  +1=(x+\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))\(^2\) + \(\frac{1}{4}\)

b)  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x\(^2\)+x\(\sqrt{3}\)+1

Answer 1

a) Biến đổi vế trái ta có:

\(x^2+x\sqrt{3}+1=x^2+2\cdot x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}=VP\)

Vậy đẳng thức trên được chứng minh

b) \(x^2+x\sqrt{3}+1=\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)

Vì: \(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\ge0\)

=> \(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)

Vậy GTNN của biểu thức trên là \(\frac{1}{4}\) khi \(x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)