Question

a) Cho x,y,z thuộc R. CMR: (x+y+z)²≤3(x²+y²+z²) b) cho a+b+c=1 và a,b,c≥-¼ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=√(4a+1) + √(4b+1) + √(4c+1)

Answer 1

a) (x + y + z)² \(\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)(1) 

<=> \(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\le3x^2+3y^2+3z^2\)

<=> \(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\ge0\)

<=> (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² \(\ge0\) (đúng) 

=> (1) đúng "=" khi x = y = z

 

Answer 2

b) \(A=1\sqrt{4a+1}+1.\sqrt{4b+1}+1.\sqrt{4c+1}\)

\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)}\)

\(=\sqrt{3.\left[4\left(a+b+c\right)+3\right]}=\sqrt{21}\left(\text{vì }a+b+c=1\right)\)

"=" xảy ra <=> \(\dfrac{1}{\sqrt{4a+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{4b+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{4c+1}};a+b+c=1\)

<=> a = b = c = 1/3