Question

 4: (2,5 điểm) Cho ABC nhọn. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. a) Chứng minh: DE // BC b) Trên cạnh AD, AE lần lượt lấy các điểm F, N sao cho DF=1/3 DA và EN=1/3 EA Chứng minh: tứ giác FNCB là hình thang. c) Gọi H là trung điểm FN; K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh: A, H, K thẳng hàng. 

Answer 1

a: Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//BC và \(DE=\dfrac{BC}{2}\)

b: \(DF=\dfrac{1}{3}DA\)

=>\(AF=\dfrac{2}{3}AD\)

\(EN=\dfrac{1}{3}AE\)

=>\(AN=\dfrac{2}{3}AE\)

Xét ΔADE có \(\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AN}{AE}\left(=\dfrac{2}{3}\right)\)

nên FN//DE

mà DE//BC

nên FN//BC

=>FNCB là hình thang

c: Gọi O là giao điểm của AK và BC

Xét ΔABC có

BE,CD là các đường trung tuyến

BE cắt CD tại K

Do đó: K là trọng tâm của ΔABC

=>AK cắt BC tại trung điểm O của BC

Giả sử A,H,K thẳng hàng

mà A,K,O thẳng hàng

nên A,H,O sẽ thẳng hàng

Khi đó, ta có: FN//BC

=>FH//OB và HN//OC

Xét ΔABO có FH//BO

nên \(\dfrac{FH}{BO}=\dfrac{AH}{AO}\left(1\right)\)

Xét ΔAOC có HN//OC

nên \(\dfrac{HN}{OC}=\dfrac{AH}{AO}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{FH}{BO}=\dfrac{HN}{OC}\)

mà FN=HN

nên BO=OC

=>O là trung điểm của BC

=>Đúng với chứng minh ở trên

Do đó: A,H,K thẳng hàng