Điều kiện xác định: ` x >= 0 `
Ta có:
`2x \sqrt(2x + 3) = 3x^2 + 6x + 1`
Đặt: `t = \sqrt(2x + 3) (t>=0),` suy ra:
`t^2 = 2x + 3`
`\Rightarrow x = \frac{t^2 - 3}{2}`
Thay \( x = \frac{t^2 - 3}{2} \) vào phương trình ban đầu: \( 2 \left( \frac{t^2 - 3}{2} \right) \cdot t = 3 \left( \frac{t^2 - 3}{2} \right)^2 + 6 \left( \frac{t^2 - 3}{2} \right) + 1\) \((t^2 - 3)t = \frac{3(t^2 - 3)^2}{4} + 3(t^2 - 3) + 1\) \(4t(t^2 - 3) = 3(t^2 - 3)^2 + 12(t^2 - 3) + 4\) \(4t^3 - 12t = 3t^4 - 18t^2 + 27 + 12t^2 - 36 + 4\) \(4t^3 - 12t = 3t^4 - 6t^2 - 5\) \(3t^4 - 4t^3 - 6t^2 + 12t - 5 = 0\)
Suy ra: `3t^4 - 4t^3 - 6t^2 + 12t - 5 = (t - 1)^2(3t^2 + 2t - 5) = (t - 1)^3(3t+5)
Do đó: `t = 1` hoặc `t = -5/3 (` loại `)` Với \( t = 1 \): \( \sqrt{2x + 3} = 1 \Rightarrow 2x + 3 = 1 \Rightarrow x = -1 (` loại `)`
Ta cần giải phương trình:
\(2 x \sqrt{2 x} + 3 = 3 x^{2} + 6 x + 1\)
Bước 1: Đặt ẩn phụĐặt \(u = \sqrt{2 x} \Rightarrow u^{2} = 2 x \Rightarrow x = \frac{u^{2}}{2}\)
Thay vào phương trình:
\(2 \cdot \frac{u^{2}}{2} \cdot u + 3 = 3 \left(\left(\right. \frac{u^{2}}{2} \left.\right)\right)^{2} + 6 \cdot \frac{u^{2}}{2} + 1\)
Rút gọn:
\(u^{3} + 3 = \frac{3 u^{4}}{4} + 3 u^{2} + 1\)
Bước 2: Đưa về một phương trình đại sốChuyển vế:
\(u^{3} + 3 - \left(\right. \frac{3 u^{4}}{4} + 3 u^{2} + 1 \left.\right) = 0\) \(u^{3} - \frac{3 u^{4}}{4} - 3 u^{2} + 2 = 0\)
Nhân cả hai vế với 4 để khử mẫu:
\(4 u^{3} - 3 u^{4} - 12 u^{2} + 8 = 0\)
Sắp xếp lại:
\(- 3 u^{4} + 4 u^{3} - 12 u^{2} + 8 = 0\)
Hoặc:
\(3 u^{4} - 4 u^{3} + 12 u^{2} - 8 = 0\)
Bước 3: Tìm nghiệm phương trìnhDùng thử nghiệm hoặc máy tính để giải phương trình:
\(3 u^{4} - 4 u^{3} + 12 u^{2} - 8 = 0\)
Nghiệm gần đúng bằng máy tính: \(u = 1\)
Thử lại với \(u = 1\):
\(3 \left(\right. 1 \left.\right)^{4} - 4 \left(\right. 1 \left.\right)^{3} + 12 \left(\right. 1 \left.\right)^{2} - 8 = 3 - 4 + 12 - 8 = 3 \Rightarrow \text{Sai}\)
Hãy thử nghiệm bằng cách thử từng giá trị khả thi của \(u\), hoặc bạn muốn mình giải tiếp bằng phương pháp số/giải gần đúng?
