Question

2.Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 4046 Ching minh rang P = (a + b)(b + c)(c + a) - 6abc chia hết cho 14

Answer 1

Ta có: (a+b+c)(ab+ac+bc)

\(=a^2b+a^2c+abc+ab^2+abc+b^2c+abc+ac^2+bc^2\)

\(=a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b+3bac\)

Nếu cả a,b,c đều là số lẻ thì a+b+c lẻ

mà 4046 chẵn

nên sẽ không thể có trường hợp a,b,c đều là các số lẻ

=>1 trong số ba số a,b,c phải là số chẵn

=>abc⋮2

=>7abc⋮14

Ta có: P=(a+b)(b+c)(c+a)-6abc

\(=\left(ab+ac+b^2+bc\right)\left(c+a\right)-6abc\)

\(=abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+b^2a+bc^2+abc-6abc\)

\(=a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+b^2a+bc^2-4abc\)

\(\) \(=a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+b^2a+bc^2+3abc-7abc\)

=(a+b+c)(ab+ac+bc)-7abc

=4046(ab+ac+bc)-7abc

mà 4046(ab+ac+bc)⋮14 và 7abc⋮14

nên P⋮14