Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ sau đâu:
a) Nếu n là số lẻ thì do tích n số tự nhiên bằng n lẻ nên tất cả n số đều là các số lẻ, và tổng của n số lẻ là một số lẻ nên không thể bằng 2012 (loại trường hợp này)
b) Nếu n là số chẵn thì do tích n số tự nhiên bằng n nên trong n số đã cho có ít nhất 1 số chẵn. Xét hai khả năng sau đây:
+) Nếu trong n số chỉ có đúng một số chẵn, thì (n – 1) số còn lại đều là các số lẻ, khi đó tổng của (n – 1) số lẻ là một số lẻ, kết hợp với số chẵn duy nhất thì tổng của n số đã cho là một số lẻ và không thể bằng 2012 (loại khả năng này).
+) Nếu trong n số có ít nhất 2 số chẵn thì tích cỉa 2 số này chia hết cho 4. Theo giả thiết, tích của n số tự nhiên bằng n nên suy ra chia hết cho 4.
Xét 2 trường hợp:
TH1: Nếu n là số lẻ thì tích của n số là số lẻ nên các số trong n số đều lẻ
=> Tổng n số tự nhiên này là số lẻ
Mà theo đề bài tổng n số này là chẵn => loại
TH2: Nếu n là số chẵn thì tích của n số này là chẵn nên trong n số phải có ít nhất 1 số chẵn
+, Nếu trong n số chỉ có 1 số chẵn thì (n-1) số còn lại là lẻ => Tổng các số là lẻ ( loại )
+, Nếu trong n số có ít nhất 2 số chẵn thì tích của 2 số này chia hết cho 4
Theo giả thiết: tích của n số tự nhiên bằng n
=> n chia hết cho 4
