b, Gọi biểu thức đề ra là B
=> Theo bđt cô si ta có : \(B\ge3\sqrt[3]{\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{z^2}\right)\left(z^2+\frac{1}{x^2}\right)}\)
=> \(B\ge3\sqrt[3]{2\cdot\frac{x}{y}\cdot2\cdot\frac{y}{z}\cdot2\cdot\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{8}=6\)
( Chỗ này là thay \(x^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}=2\cdot\frac{x}{y}\) và 2 cái kia tương tự vào )
=> Min B=6
Theo bđt cô si thì ta có : \(\sqrt{\left(x+y\right)\cdot1}\le\frac{x+y+1}{2}\)
\(\sqrt{\left(z+x\right)\cdot1}\le\frac{z+x+1}{2}\)
\(\sqrt{\left(y+z\right)\cdot1}\le\frac{y+z+1}{2}\)
=> Cộng vế theo vế ta được : \(A\le\frac{2\left(x+y+z\right)+3}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu = xảy ra khi : x+y+z=1 và x+y=1 và y+z=1 và x+z=1
=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vậy ...
Mình nhầm chỗ câu b, sửa lại là :
\(B\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{z^2}\right)\left(z^2+\frac{1}{x^2}\right)}}\)
Bạn làm tương tự => \(B\ge3\sqrt{2}\).
câu A) sáng nay mình cũng làm 1 bài tương tự cậu A cho bạn bây giờ bạn lại hỏi ?
chẳng nhẽ cái bài mik làm sáng nay vứt đi ak :)
a
Các bác làm sai hết r
\(P=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
\(P^2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\le3\left(2x+2y+2z\right)\le9\)
\(\Rightarrow M_{max}=3\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
b
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)
\(=\Sigma_{cyc}\sqrt{x^2+\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{16x^2}+.....+\frac{1}{16x^2}}\) ( nhác quá em không muốn viết dài ra )
\(\ge\sqrt{17\sqrt[17]{\frac{x^2}{16^{16}\cdot x^{32}}}}+\sqrt{17\sqrt[17]{\frac{y^2}{16^{16}\cdot y^{32}}}}+\sqrt{17\sqrt[17]{\frac{z^2}{16^{16}\cdot z^{32}}}}\)
\(=\sqrt{17}\left(\sqrt[17]{\frac{1}{16^8\cdot x^{16}}}+\sqrt[17]{\frac{1}{16^8\cdot y^{16}}}+\sqrt[17]{\frac{1}{16^8\cdot z^{16}}}\right)\)
\(\ge3\sqrt{17}\left(\sqrt[3]{\sqrt[17]{\frac{1}{16^{24}\cdot\left(xyz\right)^{48}}}}\right)=3\sqrt{17}\cdot\sqrt[17]{\frac{1}{16^8\cdot x^5\cdot y^5\cdot z^5}}\)
\(=\frac{3\sqrt{17}}{2\sqrt[17]{\left(2x\cdot2y\cdot2z\right)^5}}\ge\frac{3\sqrt{17}}{2\sqrt[17]{\left[\frac{2\left(x+y+z\right)}{3}\right]^{15}}}\ge\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Vẩy AM-GM mù mắt:v
Bác Huy troll người quá đáng-_-
2) \(P\sqrt{x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{z^2}\right)}}\)
\(\ge\sqrt{x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\Sigma_{cyc}\left(xy+\frac{1}{yz}\right)}\)
\(=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(=\sqrt{16\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}-15\left(x+y+z\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{16\left(x+y+z\right)^2.\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}-15.\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Minkowski:))
\(P=\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{9\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}}+\sqrt{\frac{9}{\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}}}\)
Đặt \(\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=t\Rightarrow t\le\sqrt[3]{\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^6}=\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{9t+\frac{9}{t}}=\sqrt{3\left(48t+\frac{3}{t}-45t\right)}\ge\sqrt{3\left(2\sqrt{3\cdot48}-\frac{45}{4}\right)}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
OK OK,làm sai đề cmnr:(( tí nữa mình làm lại ( bổ sung clo đã )
Thanks tth_new đã nhắc:))
