1/Cho a,b,c≥0 và \(a^2+b^2+c^2\le abc\). Tìm GTLN của
M=\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ba}\)
2/Cho a,b,c>0 thỏa mãn 13a+5b+12c=9. Tìm GTLN của
N=\(\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\)
3/Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của
P=\(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\)
4/Cho các số thực a,b,c thỏa mãn ab+7bc+ca=188.
Tìm GTNN của P=\(5a^2+11b^2+5c^2\)
Ai giải được câu nào giải hộ mình vs ạ!!!
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
í lộn, bài 4:v Bài 3 thấy quen quen, đợi chút em lục lại@Hoàng Quốc Tuấn
bài 1: \(M=∑\frac{a}{a^2+bc}\le∑\frac{1}{2\sqrt{bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)\le\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\le\frac{1}{2}\)
dấu "=" khi a=b=c=3
bài 2: đặt \(\left(13a,5b,12c\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)
Khi đó \(N=\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a\text{}}\)
\(=\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{1}{a}}+\frac{3}{\frac{2}{c}+\frac{1}{b}}+\frac{6}{\frac{2}{a}+\frac{1}{c}\text{}}\)
\(\le\frac{a+2b}{9}+\frac{b+2c}{3}+\frac{2\left(c+2a\right)}{3\text{}}\)
\(=\frac{1}{9}\left(13a+5b+12c\right)=\frac{1}{9}\cdot9=1\)
"=" a=b=c=3/10
bài 3:
\(P=\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\)
\(=∑\left(\frac{1}{2}-\frac{a^2b}{4+2a^2b}\right)\ge∑\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt[3]{a^4b^2}}{6}\right)\)
\(=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt[3]{a^4b^2}+\sqrt[3]{b^4c^2}+\sqrt[3]{c^4a^2}}{6}\)
\(\ge\frac{3}{2}-\frac{\sqrt[3]{\left(ab+bc+ca\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{6}\)
\(\ge\frac{3}{2}-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{6}=\frac{3}{2}-\frac{\frac{3^2}{3}}{6}=1\)
"=" khi a=b=c=1
bài 2 bỏ cái đặt kia đi tại tôi nháp luôn vào khung trả lời nên quên xóa
\(P=5a^2+11b^2+5c^2\)
\(=\left(2a^2+\frac{1}{2}b^2\right)+\left(\frac{21}{2}b^2+\frac{14}{3}c^2\right)+\left(\frac{1}{3}c^2+3a^2\right)\)
\(\ge2\sqrt{2a^2.\frac{1}{2}b^2}+2\sqrt{\frac{21}{2}b^2.\frac{14}{3}c^2}+2\sqrt{\frac{1}{3}c^2.3a^2}\)
\(=2\left(ab+7ac+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(2,4,6\right);\left(-2,-4,-6\right)\right\}\)
