Question

1. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn
O R; 
, kẻ hai tiếp tuyển AM và AN với đường tròn, MO cắt tia AN

tại E, NO cắt tia AM tại F.
1) Chứng minh rằng
EF MN // .

2) Biết
OA cm  7 , R cm  5

. Tính khoảng cách từ A đến MN.

Answer 1

1) Xét đường tròn (O) có: AM và AN lần lượt là tiếp tuyến tại M và N
=>AM⊥OM tại M và AN⊥ON tại N
hay AF⊥EM tại M và AE⊥FN tại N
=> \(\widehat{EMF}=\widehat{OMA}=90^0\) và \(\widehat{ENF}=90^0\)

Xét tứ giác ENMF có: \(\widehat{EMF}=\widehat{ENF}=90^0\)
mà 2 đỉnh M và N kề nhau
=> Tứ giác ENMF nội tiếp 
=> \(\widehat{EFN}=\widehat{OMN}\) (2 góc nội tiếp cung chắn \(\stackrel\frown{EN}\))            (1)

Xét △OMN có: OM = ON = R
=> △OMN cân tại O
=> \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)                                                        (2)

Từ (1) và (2) =>\(\widehat{EFN}=\widehat{ONM}\)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> MN//EF  (điều phải chứng minh)

 

2) Gọi điểm giao nhau của AO và MN là H

Xét đường tròn (O) có: AM và AN lần lượt là tiếp tuyến tại M và N
=> AM=AN và AO là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\)
=> △AMN cân tại A và AO là tia phân giác của △AMN
=> AO là đường trung trực của △AMN
=> AO⊥MN tại H
=> \(\widehat{OHM}=90^0\)

Xét △OMA vuông tại M có đường cao MH ta có:
\(OM^2=OH.OA\)
=> \(OH=\dfrac{OM^2}{OA}=\dfrac{5^2}{7}=\dfrac{25}{7}\left(cm\right)\)

Ta có: \(OH+HA=OA\)
\(\Rightarrow HA=OA-OH=7-\dfrac{25}{7}=\dfrac{24}{7}\left(cm\right)\)

Vậy khoảng cách từ A đến MN là \(\dfrac{24}{7}cm\)