Question

1. Giải phương trình nghiệm nguyên

a) \(x^2+4x+2018^{10}\)

b) \(x^2+4x+\left(y-1\right)^2=21\)

c) \(x^2+3\left(y-1\right)^2=2021\)

d) \(\left(3x-1\right)^{2020}-18\left(y-2\right)^{2019}=2019^{2020}\)

2. Tìm x,y ∈ Z

a) \(x^2-y^2+6y=56\)

b) \(x^2-4x+9y^2-6y=11\)

Answer 1

\(1,\\ b,\Leftrightarrow\left(x^2+4x+4\right)+\left(y-1\right)^2=25\\ \Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2=25\)

Vậy pt vô nghiệm do 25 ko phải tổng 2 số chính phương

\(2,\\ a,\Leftrightarrow x^2-\left(y^2-6y+9\right)=47\\ \Leftrightarrow x^2-\left(y-3\right)^2=47\)

Mà 47 ko phải hiệu 2 số chính phương nên pt vô nghiệm

\(b,\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(3y-1\right)^2=16\)

Mà 16 ko phải tổng 2 số chính phương nên pt vô nghiệm

Answer 2

1a. Đề lỗi

1b. 

PT $\Leftrightarrow (x+2)^2+(y-1)^2=25$

$\Leftrightarrow (x+2)^2=25-(y-1)^2\leq 25$

$(x+2)^2$ là scp không vượt quá $25$ nên có thể nhận các giá trị $0,1,4,9,16,25$

Nếu $(x+2)^2=0\Rightarrow (y-1)^2=25$

$\Rightarrow (x,y)=(-2, 6), (-2, -4)$
Nếu $(x+2)^2=1\Rightarrow (y-1)^2=24$ không là scp (loại)

Nếu $(x+2)^2=4\Rightarrow (y-1)^2=21$ không là scp (loại)

Nếu $(x+2)^2=9\Rightarrow (y-1)^2=16$

$\Rightarrow (x,y)=(1, 5), (1, -3), (-5,5), (-5, -3)$

Nếu $(x+2)^2=25\Rightarrow (y-1)^2=0$

$\Rightarrow (x,y)=(3, 1), (-7, 1)$

Answer 3

1c. 

Vì $x^2$ là scp nên $x^2\equiv 0,1\pmod 3$

$3(y-1)^2\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow x^2+3(y-1)^2\equiv 0,1\pmod 3$

Mà $2021\equiv 2\pmod 3$
Do đó pt $x^2+3(y-1)^2=2021$ vô nghiệm

1d.

Ta thấy:

$(3x-1)^{2020}$ là scp không chia hết cho $3$ nên $(3x-1)^{2020}\equiv 1\pmod 3$

$18(y-2)^{2019}\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow (3x-1)^{2020}+18(y-2)^{2019}\equiv 1\pmod 3$
Mà $2019^{2020}\equiv 0\pmod 3$
Do đó pt vô nghiệm.

Answer 4

2a.

$x^2-y^2+6y=56$

$\Leftrightarrow x^2-(y^2-6y+9)=47$

$\Leftrightarrow x^2-(y-3)^2=47$

$\Leftrightarrow (x-y+3)(x+y-3)=47=1.47=47.1=(-1)(-47)=(-47)(-1)$
Đến đây là dạng pt tích đơn giản rồi, ta chỉ cần xét các TH rồi tính ra thôi.

2b.

$x^2-4x+9y^2-6y=11$

$\Leftrightarrow (x^2-4x+4)+(9y^2-6y+1)=16$

$\Leftrightarrow (x-2)^2+(3y-1)^2=16$

Đến đây xét TH như bài 1a