Các câu hỏi tương tự
Chứng minh rằng : \(\left(ax+by\right)^2\ge\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
Với mọi a, b, x, y
CMR: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\)\(\ge\sqrt{\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2}\)với mọi a,b,x,y
5 tháng 7 2020 lúc 10:41
Bài tập 3* . Chứng minh rằng :x^2+y^2+frac{1}{x}+frac{1}{y}ge2left(sqrt{x}+sqrt{y}right) với x, y 0 Bài tập 5* . Chứng minh rằng :frac{a}{b+c+1}+frac{b}{a+c+1}+frac{c}{a+b+1}+left(1-aright)left(1-bright)left(1-cright)le1với 0le a,b,cle1Bài tập 9* . Chứng minh rằng :frac{1}{a^3+b^3+abc}+frac{1}{b^3+c^3+abc}+frac{1}{a^3+c^3+abc}lefrac{1}{abc}với a, b, c 0
Đọc tiếp
Bài tập 3* . Chứng minh rằng :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\) với x, y > 0
Bài tập 5* . Chứng minh rằng :
\(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\)với \(0\le a,b,c\le1\)
Bài tập 9* . Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{1}{abc}\)với a, b, c > 0
Bài 1 : Cho 2 số thực a , b thỏa mãn a + b 5 và ab 6 . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau : a^2+b^2 ; a^3+b^3; a^4+b^4 ; a^5+b^5 ; a^6+b^6Bài 2 : a) Chứng minh rằng : a^2-ab+b^2frac{1}{4}left(a+bright)^2+frac{3}{4}left(a-bright)^2 với mọi số thực a , bb) Cho hằng đẳng thức 2a^2-5ab+2b^2xleft(a+bright)^2+yleft(a-bright)^2c) Chứng minh rằng left(a+b+cright)^3a^3+b^3+c^3+3left(a+bright)left(b+cright)left(c+aright)d) Chứng minh rằng left(ax+byright)^2+left(ay-bxright)^2left(a^2+b^2right)left(...
Đọc tiếp
Bài 1 : Cho 2 số thực a , b thỏa mãn a + b = 5 và ab = 6 . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau : \(a^2+b^2\) ; \(a^3+b^3\); \(a^4+b^4\) ; \(a^5+b^5\) ; \(a^6+b^6\)
Bài 2 :
a) Chứng minh rằng : \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\) với mọi số thực a , b
b) Cho hằng đẳng thức \(2a^2-5ab+2b^2=x\left(a+b\right)^2+y\left(a-b\right)^2\)
c) Chứng minh rằng \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
d) Chứng minh rằng \(\left(ax+by\right)^2+\left(ay-bx\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\) với mọi số thực a , b , x , y
Chứng minh rằng :1) x^2+y^2+z^2ge xy+yz+xz2)a^2+b^2+c^2+3ge2left(a+b+cright)3)a^2+b^2+c^2+d^2+e^2ge aleft(b+c+d+eright)4)x^2+2y^2+2z^22xy+2yz+2z-25)frac{a^2+b^2+c^2}{3}gefrac{4}{13}với 4x + 9y 2 ; Dấu xảy ra khi nào?6) abcgeleft(a+b-cright)left(a+c-bright)left(b+c-aright)với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác7) a+b 2cvới a, b, c là 3 số dương thỏa hept{begin{cases}a^2 bcb^2 acend{cases}}8)frac{a^2}{3}+b^2+c^2ab+bc+acvới abc 1 và a^3 369) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng...
Đọc tiếp
Chứng minh rằng :
1) \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
2)\(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
3)\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
4)\(x^2+2y^2+2z^2>2xy+2yz+2z-2\)
5)\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\frac{4}{13}\)với 4x + 9y = 2 ; Dấu "=" xảy ra khi nào?
6) \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác
7) \(a+b< 2c\)với a, b, c là 3 số dương thỏa \(\hept{\begin{cases}a^2< bc\\b^2< ac\end{cases}}\)
8)\(\frac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ac\)với abc = 1 và a^3 > 36
9) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2
a) CMR Cả a, b và c đều bé hơn 1
b) CMR \(a^2+b^2+c^2< 2\left(1-abc\right)\)
10)\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)với mọi a, b và c dương
Chứng minh rằng:
a/\(\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\ge xy\)
b/\(x^2\ge2y\left(x-y\right)\)
c/\(4a^4-4a^3+a^2\ge0\)
d/ \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x^3+2x^2+3x+2y^32. Tìm đa thức f(x) biết rằng khi chia đa thức cho x+2 dư 10, f(x) chia cho x-2 dư 24, f(x) chia cho x^2-4 được thương là -5x và còn dư.3. Chứng minh rằng: aleft(b-cright)left(b+c-aright)^2+cleft(a-bright)left(a+b-cright)^2bleft(a-cright)left(a+c-bright)^24. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn abc1. Chứng minh rằng:frac{1}{a^3left(b+cright)}+frac{1}{b^3left(c+aright)}+frac{1}{c^3left(a+bright)}gefrac{3}{2}
Đọc tiếp
1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: \(x^3+2x^2+3x+2=y^3\)
2. Tìm đa thức f(x) biết rằng khi chia đa thức cho \(x+2\) dư 10, f(x) chia cho \(x-2\) dư 24, f(x) chia cho \(x^2-4\) được thương là \(-5x\) và còn dư.
3. Chứng minh rằng: \(a\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)^2+c\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)^2=b\left(a-c\right)\left(a+c-b\right)^2\)
4. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Bài sau đây làm tôi không còn dám coi thường BĐT lớp 8:Cho x, y là các số thực thỏa mãn: xge2,x+yge3. Tìm Min:Ax^2+y^2+frac{1}{x}+frac{1}{x+y}Nghĩ mãi mới ra cách AM-GM (hơn 10 phút, mấy lần đầu nhóm sai!), rồi viết lại thành SOS nên 15 phút mới xong.. A-frac{35}{6}left(x-2right)^2left(1+frac{1}{4x}right)+left(y-1right)^2+frac{left(x+y-3right)^2}{9left(x+yright)}+left[frac{17}{9}left(x+yright)+frac{7}{4}x-frac{55}{6}right]Cách AM-GM:Aleft(x-2right)^2+left(y-1right)^2+frac{1}{x}+frac{1}{x+y}+4x+2...
Đọc tiếp
Bài sau đây làm tôi không còn dám coi thường BĐT lớp 8:
Cho x, y là các số thực thỏa mãn: \(x\ge2,x+y\ge3\). Tìm Min:
\(A=x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}\)
Nghĩ mãi mới ra cách AM-GM (hơn 10 phút, mấy lần đầu nhóm sai!), rồi viết lại thành SOS nên 15 phút mới xong..
\(A-\frac{35}{6}=\left(x-2\right)^2\left(1+\frac{1}{4x}\right)+\left(y-1\right)^2+\frac{\left(x+y-3\right)^2}{9\left(x+y\right)}+\left[\frac{17}{9}\left(x+y\right)+\frac{7}{4}x-\frac{55}{6}\right]\)
Cách AM-GM:
\(A=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}+4x+2y-5\)
\(\ge\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}x\right)+\left(\frac{1}{x+y}+\frac{15}{4}x+2y-5\right)\)
\(\ge1+\left[\frac{1}{9}\left(x+y\right)+\frac{1}{x+y}\right]+\frac{17}{9}\left(x+y\right)+\frac{7}{4}x-5\ge\frac{35}{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=2;y=1\)
1. Tìm 2 số tự nhiên x, y sao cho \(\frac{\left(x+1\right)\left(x-y\right)}{y^2-xy+1}\) là số nguyên tố.
2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh \(\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)