1) Cho một dãy vô hạn các ô như hình vẽ:
| ... | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | ... |
Ban đầu, ta có 2023 viên bi phân bố tùy ý trong các ô (mỗi ô có thể chứa nhiều viên bi). Mỗi bước ta chọn ra 2 viên bi ở 2 ô có số liên tiếp \(k\) và \(k+1\) và chuyển chúng sang các ô \(k-1,k+2\). CMR sau hữu hạn bước sẽ không thực hiện chuyển bi được nữa.
2) Cho tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I). Gọi D, E, F lần lượt la tiếp điểm của I với BC, CA, AB. Kẻ \(DK\perp EF\left(K\in EF\right)\). \(DK\cap\left(I\right)=G\left(\ne D\right)\). Gọi M là trung điểm BC. \(AG\cap\left(I\right)=H\), \(EF\cap\left(O\right)\) tại P và Q. CMR P, Q, D, H đồng viên.
Để chứng minh sau hữu hạn bước sẽ không thực hiện chuyển bi được nữa, ta quan sát rằng mỗi bước chuyển bi, tổng số bi trong các ô liên tiếp tăng lên 1 đơn vị. Ban đầu có 2023 viên bi, và sau mỗi bước chuyển bi, tổng số bi trong các ô liên tiếp tăng lên 1 đơn vị. Vì số lượng ô là vô hạn, nên sau một số bước chuyển bi, tổng số bi trong các ô liên tiếp sẽ vượt quá 2023. Do đó, sau hữu hạn bước sẽ không thực hiện chuyển bi được nữa.
Để chứng minh P, Q, D, H đồng viên, ta sử dụng tính chất của tam giác nội tiếp và ngoại tiếp.
Vì tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I), nên ta có:
Giao điểm của EF và BC là D. Giao điểm của AG và EF là H. Giao điểm của AG và (I) là M.Ta cần chứng minh P, Q, D, H đồng viên, tức là chúng nằm trên một đường thẳng.
Áp dụng định lí Pascal cho đường tròn ngoại tiếp (O) và đường tròn nội tiếp (I), ta có:
Điểm P = AB ∩ EF. Điểm Q = AC ∩ EF. Điểm D = BC ∩ PQ.Vì P, Q, D nằm trên cùng một đường thẳng PQ, nên ta chỉ cần chứng minh H nằm trên đường thẳng PQ.
Áp dụng định lí Pascal cho đường tròn ngoại tiếp (O) và đường tròn nội tiếp (I), ta có:
Điểm H = AG ∩ EF. Điểm M = BC ∩ OI. Điểm D = PQ ∩ OI.Vì H, M, D nằm trên cùng một đường thẳng OI, nên H nằm trên đường thẳng PQ.
Vậy ta đã chứng minh được rằng P, Q, D, H đồng viên.
