1) Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R\{-1;0} thỏa mãn f(1)= 2ln2 +1, x(x+1)f'(x)+ (x+2)f(x)= x(x+1), ∀x ∈ R\{-1;0}. Biết f(2)= a + bln3, với a, b là hai số hữu tỉ. Tính T= a2 -b= ?
2) Cho hàm số y= f(x) liên tục trên R và f(2)= 1, \(\int\limits^2_0f\left(x\right)dx=4\). I=\(\int\limits^4_0xf'\left(\frac{x}{2}\right)dx\) =?
3) Cho hàm số y= x3- 8x2+8x có đồ thị (C) và hàm số y=x2 + (8-a)x -b (với a, b ∈ R) có đồ thị (P). Biết đồ thị hàm số (C) cắt (P) tại 3 điểm có hoành độ nằm trong đoạn [-1;5]. Khi a đạt giá trị nhỏ nhất thì tích ab=?
4) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên ra từ A hai số. Tính xác suất để lấy được hai số mà các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau.
Câu 1:
\(\left(x+2\right)f\left(x\right)+x\left(x+1\right)f'\left(x\right)=x\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)f\left(x\right)+x^2\left(x+1\right)f'\left(x\right)=x^2\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)+\frac{x^2}{x+1}f'\left(x\right)=\frac{x^2}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{x+1}f\left(x\right)\right)'=\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x+1}.f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-x+ln\left|x+1\right|+C\)
Thay \(x=1\Rightarrow ln2+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-1+ln2+C\Rightarrow C=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x+1}f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-x+ln\left|x+1\right|+1\)
Thay \(x=2\Rightarrow\frac{4}{3}f\left(2\right)=ln3+1\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{3}{4}ln+\frac{3}{4}\Rightarrow T=-\frac{3}{16}\)
Câu 2:
\(I_1=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=x.f\left(x\right)|^2_0-\int\limits^2_0x.f'\left(x\right)dx=2-\int\limits^2_0x.f'\left(x\right)dx\)
Mà \(I_1=2\)\(\Rightarrow I_2=\int\limits^2_0x.f'\left(x\right)dx=-2\)
Đặt \(2x=t\Rightarrow x=\frac{t}{2}\Rightarrow dx=\frac{1}{2}dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=2\Rightarrow t=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_2=\int\limits^4_0\frac{t}{2}f'\left(\frac{t}{2}\right).\frac{1}{2}dt=\frac{1}{4}\int\limits^4_0t.f'\left(\frac{t}{2}\right)dt=-2\)
\(\Rightarrow\int\limits^4_0t.f'\left(\frac{t}{2}\right)dt=-8\) hay \(\int\limits^4_0x.f'\left(\frac{x}{2}\right)dx=-8\)
Câu 3:
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^3-8x^2+8x=x^2+\left(8-a\right)x-b\)
\(\Leftrightarrow x^3-9x^2+ax+b=0\)
Do pt có 3 nghiệm thuộc \(\left[-1;5\right]\) nên \(f\left(x\right)=x^3-9x^2+ax+b\) có 2 điểm cực trị thuộc \(\left[-1;5\right]\) và 2 giá trị cực trị không cùng dấu
\(f'\left(x\right)=g\left(x\right)=3x^2-18x+a=0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\g\left(-1\right)\ge0\\g\left(5\right)\ge0\\-1< \frac{18}{6}< 5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}81-3a>0\\a+21\ge0\\a-15\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow15\le a< 27\)
Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(f'\left(x\right)\) và lấy phần dư ta được phương trình đường thẳng d đi qua 2 cực trị của \(f\left(x\right)\) là \(y=\left(\frac{2a}{3}-18\right)x+a+b\)
Giao điểm A của d và Ox: \(x_A=\frac{3a+3b}{54-2a}\)
\(\Rightarrow x_A.f'\left(x_A\right)\le0\Rightarrow\frac{3\left(a+b\right)}{54-2a}\left(\frac{27\left(a+b\right)^2}{\left(54-2a\right)^2}-\frac{54\left(a+b\right)}{54-2a}+a\right)\le0\) (1)
Nhìn thế này là làm biếng :(
Lấy luôn \(a=15\) thay vào \(\left(1\right)\) tìm b chắc cũng được
Câu 4:
Gọi số có 3 chữ số là \(\overline{abc}\); ta thấy a có 9 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 8 cách chọn \(\Rightarrow A\) có \(9.9.8=648\) số
Số chữ số có mặt số 0 trong A là: \(2.9.8=144\) số
Số cách chọn ra 2 số từ A: \(C^2_{648}\) cách
Với mỗi số dạng \(\overline{abc}\) (\(a;b;c\ne0\)) luôn có \(3!-1=5\) cách chọn số còn lại
Với mỗi số có xuất hiện số 0, thì chỉ có 3 cách chọn số còn lại
\(\Rightarrow\) Có \(\left(648-144\right).5+144.3=2952\) cách
Xác suất: \(\frac{2952}{C_{648}^2}=\frac{82}{5823}\)
//Ko chắc lắm, bạn tham khảo
