1
\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le a\cdot\frac{b+1+b^2-b+1}{2}=\frac{ab^2}{2}+1\)
Tương tự ta có:\(P\le3+\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)
Giả sử b nằm giữa a và c
Ta có:
\(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Leftrightarrow b^2-bc-ab+ac\le0\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\)
\(\Leftrightarrow ab^2+a^2c\le a^2b+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+bc^2+abc\)
\(\le a^2b+bc^2+2abc=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta chứng minh \(b\left(3-b\right)^2\le4\) dể chứng minh
Khi đó:\(P\le3+\frac{4}{2}=5\)
Dấu "=" xảy ra tại a=0;b=1;c=2 và các hoán vị
2
Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z\)
\(\Rightarrow a=\frac{x+y}{2};b=\frac{y+z}{2};c=\frac{z+x}{2}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:\(xyz\le\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{8}\) ( đúng theo bđt cô si )
P/S:a,b,c không là độ dài 3 cạnh tam giác vẫn đúng theo BĐT Schur
Bài 1: em làm không đúng rồi và cô không hiểu ý tưởng làm bài của em nhưng có mấy lỗi cơ bản:
Sai dòng thứ nhất \(\frac{ab^2}{2}+a\)
Dấu bằng xảy ra cũng sai. Dòng thứ 6 em nhân cả hai vế cho a mà dấu bằng a = 0 . vô lí
Dòng thứ 5 ( b - a ) ( b - c ) <= 0 thì dấu bằng xảy ra a = b hoặc b = c chứ
Dòng thứ 8 => sau đó làm thế nào.
Nguyễn Linh Chi Dạ cô để em nghĩ cách khác ạ
Gửi bạn bài 1 nhé ! Haizz tức lắm rồi, gửi ảnh mà không lên :((
Làm tiếp ra đây , hết trang giấy rồi :))
Do đó : \(P\le4+3=7\) ( do a+b+c=3 )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=0,b=1,c=2\) và các hoán vị.
P/s : Không xem được ảnh thì vào Trang cá nhân vào thống kê hỏi đáp của em giùm ạ :))
\(a\sqrt{b^3+1}\le a\cdot\frac{b+1+b^2-b+1}{2}=\frac{ab^2+a}{2}\)
Tương tự rồi cộng lại \(P\le\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)
Bổ đề:\(ab^2+bc^2+ca^2\le ab^2+bc^2+ca^2+abc\le\frac{4\left(a+b+c\right)^3}{27}\) ( em chứng minh hơi dài )
Áp dụng vào ta có \(P\le5\)
Dấu "=" xảy ra tại a=0;b=1;c=2 và các hoán vị
