Gọi $S=\dfrac{a^3}{(a-b)(a-c)(a-d)}+\dfrac{b^3}{(b-a)(b-c)(b-d)}+\dfrac{c^3}{(c-a)(c-b)(c-d)}+\dfrac{d^3}{(d-a)(d-b)(d-c)}$.
Xét đa thức: $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$.
Khi đó:
$P'(a)=(a-b)(a-c)(a-d)$,
$P'(b)=(b-a)(b-c)(b-d)$,
$P'(c)=(c-a)(c-b)(c-d)$,
$P'(d)=(d-a)(d-b)(d-c)$.
Do đó: $S=\dfrac{a^3}{P'(a)}+\dfrac{b^3}{P'(b)}+\dfrac{c^3}{P'(c)}+\dfrac{d^3}{P'(d)}$.
Theo công thức nội suy Lagrange, với mọi đa thức $f(x)$ có bậc nhỏ hơn $4$ thì hệ số của $x^3$ trong $f(x)$ bằng:
$\displaystyle \sum \frac{f(a_i)}{P'(a_i)}$.
Chọn $f(x)=x^3$.
Hệ số của $x^3$ trong $f(x)$ bằng $1$.
Suy ra: $\dfrac{a^3}{P'(a)}+\dfrac{b^3}{P'(b)}+\dfrac{c^3}{P'(c)}+\dfrac{d^3}{P'(d)}=1$.
Vậy: $S=1$.
