Question

Answer 1

Ta có: $P(x)=x^3+ax^2+bx+2$

$\Rightarrow P(\sqrt2)=\left(\sqrt2\right)^3+a.\left(\sqrt2\right)^2+b.\sqrt2+2$

$=2\sqrt2 +2a+b\sqrt 2+2=0$ (do $\sqrt2$ là nghiệm của $P(x)$)

$\Rightarrow 2a+2+\sqrt2 (b+2)=0$

Do a, b hữu tỉ mà $\sqrt 2$ vô tỉ nên \(\begin{cases}2a+2=0\\ \\ b+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-1\\ \\ b=-2\end{cases}\)

$\Rightarrow P(x)=x^2-x^2-2x+2=x^2(x-1)-2(x-1)=(x^2-2)(x-1)$

Khi đó: $P(x)=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x^2-2=0\\ x-1=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=\sqrt 2 \\ x=-\sqrt2\\ x=1 \end{cases}$

Do đó, $-\sqrt 2$; $1$ là các nghiệm còn lại của $P(x)$

$Toru$

Answer 2

Ta có: $P(x)=x^3+ax^2+bx+2$

$\Rightarrow P(\sqrt2)=\left(\sqrt2)^3+a.(\sqrt2)^2+b.\sqrt2+2$

$=2\sqrt2 +2a+b\sqrt 2+2=0$ (do $\sqrt2$ là nghiệm của $P(x)$)

$\Rightarrow 2a+2+\sqrt2 (b+2)=0$

Do a, b hữu tỉ mà $\sqrt 2$ vô tỉ nên \(\begin{cases}2a+2=0\\ \\ b+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-1\\ \\ b=-2\end{cases}\)

$\Rightarrow P(x)=x^2-x^2-2x+2=x^2(x-1)-2(x-1)=(x^2-2)(x-1)$

Khi đó: $P(x)=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x^2-2=0\\ x-1=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=\sqrt 2 \\ x=-\sqrt2\\ x=1 \end{cases}$

Do đó, $-\sqrt 2$; $1$ là các nghiệm còn lại của $P(x)$

$Toru$