Gọi đa thức bậc 2:
f(x) = ax² + bx + c
Ta xét sai phân bậc hai:
f(x+2) - 2f(x+1) + f(x)
Tính:
f(x+2) = a(x+2)² + b(x+2) + c
f(x+1) = a(x+1)² + b(x+1) + c
Thay vào:
f(x+2) - 2f(x+1) + f(x) = 2a
Vậy với mọi x nguyên:
f(x+2) = 2f(x+1) - f(x) + 2a
Đặc biệt với x = 3:
f(5) = 2f(4) - f(3) + 2a
Suy ra:
2a = f(5) - 2f(4) + f(3)
Do f(3), f(4), f(5) đều là số nguyên nên:
2a là số nguyên
Xét tiếp:
f(4) - f(3) = a(16 - 9) + b(4 - 3) = 7a + b
Vì f(4), f(3) nguyên nên:
7a + b nguyên
Do 2a nguyên ⇒ a có dạng k/2
Thế vào 7a + b nguyên ⇒ b cũng có dạng m/2
Tiếp:
f(3) = 9a + 3b + c nguyên
⇒ c cũng là số hữu tỉ có mẫu 2
Suy ra:
a, b, c đều có dạng số hữu tỉ mẫu 2
Xét lại công thức:
f(x+2) = 2f(x+1) - f(x) + 2a
Vì f(3), f(4) nguyên và 2a nguyên
⇒ f(5) nguyên (đúng theo giả thiết)
Tiếp tục dùng công thức truy hồi:
Nếu f(n), f(n+1) nguyên thì f(n+2) cũng nguyên
Do f(3), f(4) nguyên ⇒ suy ra:
f(5), f(6), f(7), ... đều nguyên
Làm tương tự theo chiều ngược:
f(n) = 2f(n+1) - f(n+2) + 2a
⇒ suy ra các giá trị nhỏ hơn cũng nguyên
Vậy:
f(x) là số nguyên với mọi x nguyên
Kết luận: f(x) nguyên với mọi x ∈ Z
Giải thích: dùng sai phân bậc hai để tạo công thức truy hồi, từ vài giá trị nguyên suy ra toàn bộ giá trị nguyên.
