Question

Answer 1

Ta giải bằng phương pháp vectơ/toạ độ đơn giản.

Gọi
A = O,
B = b,
D = d
thì vì ABCD là hình bình hành nên
C = b + d.

Gọi
S = s.

Khi đó:

Xác định điểm E

E là trung điểm của SC nên

E = (S + C)/2 = (s + b + d)/2.

Xác định điểm F

F thuộc đoạn BD và
3BF = 2BD
nên
BF = 2/3 BD.

Vì thế F chia BD theo tỉ số 2/3 tính từ B đến D, nên

F = B + 2/3 (D - B)
= b + 2/3 (d - b)
= 1/3 b + 2/3 d.

Gọi M là giao điểm của SB với mặt phẳng (AEF)

Vì M thuộc SB nên tồn tại t sao cho

M = S + t(B - S)
= (1 - t)s + tb.

Mà A là gốc toạ độ, nên mặt phẳng (AEF) là mặt phẳng sinh bởi hai vectơ E, F.
Do đó tồn tại u, v sao cho

M = uE + vF.

Thay E, F vào:

M = u/2 (s + b + d) + v(1/3 b + 2/3 d)
= u/2 s + (u/2 + v/3)b + (u/2 + 2v/3)d.

So sánh với

M = (1 - t)s + tb + 0d

ta được hệ:

u/2 = 1 - t
u/2 + v/3 = t
u/2 + 2v/3 = 0.

Từ phương trình thứ ba:

u/2 + 2v/3 = 0
=> 2v/3 = -u/2
=> v = -3u/4.

Thế vào phương trình thứ hai:

u/2 + (-3u/4)/3 = t
=> u/2 - u/4 = t
=> t = u/4.

Thế vào phương trình thứ nhất:

u/2 = 1 - u/4
=> 2u/4 = 1 - u/4
=> 3u/4 = 1
=> u = 4/3.

Suy ra

t = u/4 = 1/3.

Vậy

SM/SB = 1/3.

Do đó
a = 1, b = 3.

Suy ra

3a + b = 3.1 + 3 = 6.

Đáp án: 6