Bài giải
Ta chọn hệ trục tọa độ như sau:
A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0)
Vì ABCD là hình bình hành nên C(1;1;0).
Gọi S(0;0;h), với h > 0.
Vì I thuộc SC và SI = 1/4 SC nên I chia SC theo tỉ số 1 : 3, suy ra
I = S + 1/4 (C - S)
= (0;0;h) + 1/4 (1;1;-h)
= (1/4; 1/4; 3h/4).
Mặt phẳng (α) đi qua AI và song song với BD.
Ta có
vec(BD) = D - B = (-1;1;0).
Do đó, phương trình tham số của mặt phẳng (α) là
M = A + u.vec(AI) + v.vec(BD)
hay
M = u(1/4;1/4;3h/4) + v(-1;1;0).
Suy ra
M có tọa độ:
x = u/4 - v
y = u/4 + v
z = 3hu/4.
Mặt khác, K thuộc SD nên K có dạng
K = S + t(D - S)
= (0;0;h) + t(0;1;-h)
= (0; t; h(1 - t)).
Vì K thuộc (α), nên tồn tại u, v sao cho
0 = u/4 - v
t = u/4 + v
h(1 - t) = 3hu/4.
Từ 0 = u/4 - v suy ra v = u/4.
Thay vào t = u/4 + v, được
t = u/4 + u/4 = u/2.
Lại có
1 - t = 3u/4.
Thay t = u/2 vào:
1 - u/2 = 3u/4
4 - 2u = 3u
5u = 4
u = 4/5.
Suy ra
t = u/2 = 2/5.
Vậy
SK/SD = 2/5.
Bây giờ xét hai tam giác SIK và SCD.
Ta có:
I thuộc SC nên SI/SC = 1/4
K thuộc SD nên SK/SD = 2/5.
Hai tam giác SIK và SCD có góc tại S chung, nên tỉ số diện tích bằng tích tỉ số hai cạnh kề góc đó:
S tam giác SIK / S tam giác SCD = (SI/SC).(SK/SD)
= 1/4 . 2/5
= 1/10.
Kết luận:
S tam giác SIK / S tam giác SCD = 1/10.
