Đặt t = 2x.
Khi đó x thuộc [π/12; 2π/3) thì
t thuộc [π/6; 4π/3).
Phương trình đã cho:
(m + 1)tan2x = m√3 - tan2x
=> (m + 2)tan2x = m√3
Nếu m = -2 thì phương trình vô nghiệm.
Với m khác -2, ta có:
tan t = m√3/(m + 2)
Gọi k = m√3/(m + 2).
Ta xét số nghiệm của phương trình tan t = k trên đoạn [π/6; 4π/3).
Trên đoạn này:
Trên [π/6; π/2), hàm tan t nhận giá trị từ 1/√3 đến +∞Trên [π; 4π/3), hàm tan t nhận giá trị từ 0 đến √3Trên (π/2; π), hàm tan t nhận các giá trị âmĐể phương trình có đúng 2 nghiệm trên [π/6; 4π/3) thì cần và đủ:
1/√3 ≤ k < √3
Thay k = m√3/(m + 2), ta được:
1/√3 ≤ m√3/(m + 2) < √3
Nhân với √3:
1 ≤ 3m/(m + 2) < 3
Giải bất đẳng thức:
1 ≤ 3m/(m + 2)
=> (m - 1)/(m + 2) ≥ 0
3m/(m + 2) < 3
=> -6/(m + 2) < 0
=> m + 2 > 0
=> m > -2
Kết hợp hai điều kiện:
m > -2 và (m - 1)/(m + 2) ≥ 0
=> m ≥ 1
Lại có m < 5 và m nguyên nên:
m = 1, 2, 3, 4
Tổng các giá trị nguyên của m là:
1 + 2 + 3 + 4 = 10
Đáp số: 10
