Do ∆ABC cân tại A (gt)
⇒ AB = AC và ∠ABC = ∠ACB = (180⁰ - ∠BAC) : 2
Do BD là phân giác của ∠ABC (gt)
⇒ ∠ABD = ∠CBD = ∠ABC : 2
Do CE là phân giác của ∠ACB (gt)
⇒ ∠ACE = ∠BCE = ∠ACB : 2
Mà ∠ABC = ∠ACB (cmt)
⇒ ∠ABD = ∠ACE
Xét ∆ABD và ∆ACE có:
∠A chung
AB = AC (cmt)
∠ABD = ∠ACE (cmt)
⇒ ∆ABD = ∆ACE (g-c-g)
⇒ AD = AE (hai cạnh tương ứng)
⇒ ∆ADE cân tại A
⇒ ∠AED = ∠ADE = (180⁰ - ∠EAD) : 2 = (180⁰ - ∠BAC) : 2
Mà ∠ABC = (180⁰ - ∠BAC) : 2 (cmt)
⇒ ∠AED = ∠ABC
Mà ∠AED và ∠ABC là hai góc đồng vị
⇒ ED // BC
⇒ BEDC là hình thang (1)
Do ∠ABC = ∠ACB (cmt)
⇒ ∠EBC = ∠DCB (2)
Từ (1) và (2) suy ra BEDC là hình thang cân (3)
Do DE // BC (cmt)
⇒ ∠EDB = ∠CBD (so le trong)
Do ∠ABD = ∠CBD (cmt)
⇒ ∠EBD = ∠CBD
Mà ∠CBD = ∠EDB (cmt)
⇒ ∠EDB = ∠EBD
⇒ ∆EBD cân tại E
⇒ ED = EB (4)
Từ (3) và (4) suy ra BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên
