Question

Câu 4: Cho phương trình lượng giác: \(\sin x - 1 = 0\). Tổng tất cả các nghiệm của phương trình lượng giác trên \([0;10\pi]\) có dạng \(\frac{ap}{b}\) với \(a, b \in \mathbb{Z}, b > 0\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tích \(ab\) bằng?

Answer 1

sin x-1=0

=>sin x=1

=>\(x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

\(x\in\left\lbrack0;10\pi\right\rbrack\)

=>\(\frac{\pi}{2}+k2\pi\in\left\lbrack0;10\pi\right\rbrack\)

=>\(2k+\frac12\in\left\lbrack0;10\right\rbrack\)

=>2k∈\(\left\lbrack-\frac12;\frac{19}{2}\right\rbrack\)

=>k∈\(\left\lbrack-\frac14;\frac{19}{4}\right\rbrack\)

=>k∈{0;1;2;3;4}

Tổng giá trị các nghiệm trong khoảng \(\left\lbrack0;10\pi\right\rbrack\) là:

\(\frac{\pi}{2}+0\cdot2\pi+\frac{\pi}{2}+1\cdot2\pi+\frac{\pi}{2}+2\cdot2\pi+\frac{\pi}{2}+3\cdot2\pi+\frac{\pi}{2}+4\cdot2\pi\)

\(=\frac52\pi+2\pi+4\pi+6\pi+8\pi=\frac52\pi+20\pi=22,5\pi=\frac{45}{2}\pi\)

=>a=45; b=2

=>ab=90