Question

III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1: Tìm giới hạn \(\lim \left[\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right]\)

Câu 2: Tìm tổng \(S = \frac{1}{3} + \frac{9}{27} + \frac{(-1)^{n+1}}{3^n} + \ldots\)

Câu 3: Giá trị của tổng \(T = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} + \ldots + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n + \ldots = a + \sqrt{b}\) với \(a, b\) là các số tự nhiên. Tính giá trị \(S = (a+b)^2\)

Answer 1

Câu 1:

Đặt \(A=\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\cdots+\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\)

\(=\frac12\left(\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3\cdot5}+\cdots+\frac{2}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right)\)

\(=\frac12\left(1-\frac13+\frac13-\frac15+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\)

\(=\frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac12\cdot\frac{2n}{2n+1}=\frac{n}{2n+1}\)

\(\lim_{}\left(\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\cdots+\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right)\)

\(=\lim_{}\left(\frac{n}{2n+1}\right)=\lim_{}\left(\frac{1}{2+\frac{1}{n}}\right)=\frac12\)

Câu 2:

\(u_1=\frac13;q=-\frac13\)

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S là:

\(S=\frac{u_1}{1-q}=\frac13:\left(1+\frac13\right)=\frac13:\frac43=\frac14\)

Câu 3:

\(u_1=1;q=\frac{1}{\sqrt2}\)

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn T là:

\(T=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt2}}=1:\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{\sqrt2-1}=\sqrt2\left(\sqrt2+1\right)=2+\sqrt2\)

=>a=2; b=2

\(S=\left(a+b\right)^2=\left(2+2\right)^2=16\)