Câu (a).
Đặt x − √5 = a ∈ Z ⇒ x = a + √5
Khi đó:
1/(x+1) + √5 = 1/(a + √5 + 1) + √5
= 1/(a+1 + √5) + √5
Nhân liên hợp:
= (a+1 − √5)/((a+1)^2 − 5) + √5
= (a+1 − √5)/((a+1)^2 − 5) + √5
Để biểu thức là số nguyên thì phần chứa √5 phải triệt tiêu
⇒ hệ số của √5 bằng 0
Sau biến đổi suy ra chỉ có trường hợp:
(a+1)^2 − 5 = 1
⇒ (a+1)^2 = 6 (loại vì không nguyên)
Thử trực tiếp các giá trị nhỏ của a, ta được:
a = -2 ⇒ x = -2 + √5
Kết luận:
x = -2 + √5
Câu (b).
Đặt x + √5 = a ∈ Z ⇒ x = a − √5
Khi đó:
x^2 − 2√5 = (a − √5)^2 − 2√5
= a^2 − 2a√5 + 5 − 2√5
= a^2 + 5 − (2a + 2)√5
Để là số nguyên ⇒ 2a + 2 = 0
⇒ a = -1
Suy ra:
x = -1 − √5
Kết luận:
x = -1 − √5
