PHẦN IV. Tự luận. Thí sinh trình bày lời giải trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Câu 1. Hàng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \( h(m) \) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \( t \) (giờ) được cho bởi công thức \( h = 12 + 4 \cos \left( \frac{\pi}{12} - \frac{3\pi}{4} \right) \). Hỏi mực nước cao nhất trong ngày của con kênh là bao nhiêu \( m \) và vào lúc mấy giờ?
Câu 2. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố \( X \) ở vĩ độ \( 40^\circ \) bắc trong ngày thứ \( t \) của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \( d(t) = 3 \sin \left[ \frac{\pi}{182} (t - 80) \right] + 12, t \in \mathbb{Z}, 0 < t \leq 365 \). Và ngày thứ mấy trong năm thì thành phố \( X \) có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Câu 1
a: \(-1<=cos\left(\frac{\pi}{12}t-\frac34\pi\right)\le1\)
=>\(-4\le4\cdot cos\left(\frac{\pi}{12}t+\frac34\pi\right)\le4\)
=>\(-4+12\le4\cdot cos\left(\frac{\pi}{12}t+\frac34\pi\right)\le4+12\)
=>8<=h<=16
=>Mực nước cao nhất là h=16 khi \(cos\left(\frac{\pi}{12}t+\frac34\pi\right)=1\)
=>\(\frac{\pi}{12}t+\frac34\pi=k2\pi\)
=>\(\frac{\pi}{12}t=k2\pi-\frac34\pi\)
=>\(\frac{t}{12}=2k-\frac34\)
=>t=24k-9
0<=t<=24
=>0<=24k-9<=24
=>9<=24k<=33
=>\(\frac38\le k\le\frac{11}{8}\)
=>k=1
=>\(t=24\cdot1-9=15\) (giờ)
Câu 2:
\(-1\le\sin\left\lbrack\frac{\pi}{182}\cdot\left(t-80\right)\right\rbrack\le1\)
=>\(-3\le3\cdot\sin\left\lbrack\frac{\pi}{182}\left(t-40\right)\right\rbrack\le3\)
=>\(-3+12<=3\cdot\sin\left\lbrack\frac{\pi}{182}\left(t-40\right)\right\rbrack+12\le3+12\)
=>9<=d(t)<=15
=>\(d\left(t\right)_{\max}=15\) khi \(\sin\left\lbrack\frac{\pi}{182}\left(t-40\right)\right\rbrack=1\)
=>\(\frac{\pi}{182}\left(t-40\right)=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)
=>\(\frac{t-40}{182}=\frac12+2k\)
=>t-40=91+364k
=>t=131+364k
0<t<=365
=>0<364k+131<=365
=>-131<364k<=234
=>\(-\frac{131}{364}
=>k=0
=>t=131+364*0=131
Vậy: Thời điểm mà thành phố X có nhiều ánh sáng mặt trời nhất là ngày thứ 131 trong năm
