Bài 12:
a: ta có: \(BE=EC=\frac{BC}{2}\)
\(AF=FD=\frac{AD}{2}\)
\(AB=CD=\frac{BC}{2}\)
mà BC=AD
nên BE=EC=AF=FD=AB=CD
Xét tứ giác BEFA có
BE//FA
BE=FA
Do đó: BEFA là hình bình hành
Hình bình hành BEFA có BE=BA
nên BEFA là hình thoi
b: Ta có: BC//AD
=>\(\hat{IBC}=\hat{BAD}\) (hai góc đồng vị)
=>\(\hat{IBC}=60^0\)
Xét ΔBIE có BI=BE(=AB) và \(\hat{IBE}=60^0\)
nên ΔBIE đều
=>\(\hat{EIB}=\hat{BEI}=60^0\) và IE=BE=BI
BEFA là hình thoi
=>EF//AB
=>EF//AI
=>AFEI là hình thang
mà \(\hat{EIA}=\hat{FAI}\left(=60^0\right)\)
nên AFEI là hình thang cân
c: Ta có: BA=CD
BA=BI
Do đó: BI=CD
BA//CD
=>BI//CD
Xét ΔABF có AB=AF và \(\hat{BAF}=60^0\)
nên ΔABF đều
=>BF=FA=AD/2
Xét ΔBAD có
BF là đường trung tuyến
\(BF=\frac{AD}{2}\)
Do đó: ΔBAD vuông tại B
=>DB⊥AI tại B
Xét tứ giác BICD có
BI//CD
BI=CD
Do đó: BICD là hình bình hành
Hình bình hành BICD có \(\hat{IBD}=90^0\)
nên BICD là hình chữ nhật
d: Xét ΔEAD có
EF là đường trung tuyến
\(EF=\frac{AD}{2}\)
Do đó: ΔAED vuông tại E
=>\(\hat{AED}=90^0\)
Bài 14:
a: Xét ΔABC có
E,F lần lượt là trung điểm của CA,CB
=>EF là đường trung bình của ΔABC
=>EF//AB và EF=AB/2
EF//AB nên EF//BM
Xét tứ giác BFEM có
BF//EM
EF//BM
Do đó: BFEM là hình bình hành
Hình bình hành BFEM có \(\hat{MBF}=90^0\)
nên BFEM là hình chữ nhật
b: Xét tứ giác BCKA có
E là trung điểm chung của BK và CA
=>BCKA là hình bình hành
Hình bình hành BCKA có \(\hat{CBA}=90^0\)
nên BCKA là hình chữ nhật
c: ΔABC vuông tại B
mà BE là đường trung tuyến
nên BE=EC=EA=AC/2
EF//AB
AB⊥BC
Do đó: EF⊥BC tại F
=>EG⊥BC tại F
xét tứ giác BECG có
F là trung điểm chung của BC và EG
=>BECG là hình bình hành
Hình bình hành BECG có EB=EC
nên BECG là hình thoi
d: Để Hình thoi BECG trở thành hình vuông thì BE⊥EC tại E
=>BE⊥AC tại E
Xét ΔABC có
BE là đường trung tuyến
BE là đường cao
Do đó: ΔBAC vuông cân tại B
=>\(\hat{BCA}=\hat{BAC}=45^0\)
