a: Ta có: CD⊥ DA
CD⊥SA
SA,AD cùng thuộc mp(SAD)
Do đó: CD⊥(SAD)
=>CD⊥SD
b: Ta có: BC⊥BA
BC⊥SA
SA,BA cùng thuộc mp(SAB)
Do đó; BC⊥(SAB)
=>BC⊥AH
Ta có: SB⊥AH
BC⊥AH
BC,SB cùng thuộc mp(SBC)
Do đó; AH⊥(SBC)
d: \(\hat{SC;\left(ABCD\right)}=\hat{CS;CA}=\hat{SCA}\)
ABCD là hình chữ nhật
=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)
=>\(BD^2=a^2+\left(a\sqrt2\right)^2=3a^2\)
=>\(BD=a\sqrt3\)
=>\(AC=BD=a\sqrt3\)
Xét ΔSAC vuông tại A có \(\tan SCA=\frac{SA}{AC}=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}\)
nên \(\hat{SCA}=30^0\)
=>góc giữa SC và mp(ABCD) là 30 độ
`a)` $SA\perp (ABCD)$ `=>SA`$\perp CD;BC;AD;AC$ Mà $CD\perp AD$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật) `=>CD`$\perp (SAD)$ `=>CD`$\perp SD$ $\\$ `b)` Ta có: $BC\perp SA$ (câu a) $BC\perp AB$ (do `ABCD` là hình chữ nhật) `=>BC`$\perp (SAB)$ Vì $AH\subset(SAB)$ `=>BC`$\perp AH$ Mà $AH\perp SB$ `=>AH`$\perp (SBC)$ $\\$ `c)` Vì `SA=AD=a` `=>\Delta SAD` cân tại $A$ Mà `K` là trung điểm $SD$ `=>AK` vừa là trung tuyến và đường cao `\Delta SAD` `=>AK`$\perp SD$ $(1)$ Vì $CD\perp (SAD)$ (câu a) và $AK\subset(SAD)$ `=>CD`$\perp AK$ $(2)$ Từ `(1);(2)=>AK`$\perp (SCD)$ `=>AK`$\perp SC$ $(3)$ $\\$ Câu b có $AH\perp (SBC)$ `=>AH`$\perp SC$ $(4)$ Từ `(3);(4)=>SC`$\perp (AHK)$ Vì $AM\subset(AHK)$ `((AHM)` chính là `(AHK)` mở rộng) `=>SC`$\perp AM$ $\\$ `d)` Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên `(ABCD)` `C\in (ABCD)=>` hình chiếu của `C` lên `(ABCD)` là `C` `=>AC` là hình chiếu của `SC` lên `(ABCD)` `=>(SC;(ABCD))=(SC;AC)=\hat{SCA}` $\\$ Xét `\Delta ABD` vuông tại $A$ `=>BD^2=AB^2+AD^2` (định lý Pytago) `=>BD=\sqrt{(a\sqrt{2})^2+a^2}=a\sqrt{3}` `=>AC=BD=a\sqrt{3}` (do $ABCD$ là hình chữ nhật) $\\$ $SA\perp AC$ (câu a) `=>\Delta SAC` vuông tại $A$ `=>tan\hat{SCA}={SA}/{AC}=a/{a\sqrt{3}}=1/\sqrt{3}` `=>\hat{SCA}=30°` `=>(SC;(ABCD))=30°` Vậy góc tạo bởi `SC` và mặt phẳng đáy bằng `30°`
